普遍化

这个限制适用于证明：如果 GEN 在一个证明中应用于一个公式，从而约束了它的自由变量 x，则 DT 不能应用于这个证明中把这个公式移动到十字转门的右侧。

普遍化是谓词演算的一个推理规则，它声称：

如果 ${\displaystyle \vdash P(x)}$，則 ${\displaystyle \vdash \forall xP(x)}$。

"普遍化"可以缩写为GEN，而推理规则可以被总结为相继式

${\displaystyle P(x)\vdash \forall xP(x)}$，

但是这引起了一个重要的限制：不能应用演绎定理（DT）于它而推导出

${\displaystyle \vdash P(x)\rightarrow \forall xP(x)}$（注意：这个公式是错的）。 这个公式是错的，因为 x 在前提中是一个无约束的实例，在结论中是一个约束的出现，所以如果这个公式是正确的，则它的 x 的自由实例可以被任何常量（域的元素）所替代：

${\displaystyle \vdash P(t)\rightarrow \forall xP(x)}$

但这是不正确的。比如，如果 P(x) 意味着 "x 是素数" 而域是自然数集合，则

${\displaystyle \vdash P(7)\rightarrow \forall xP(x)}$

明显不是真的，因为从它和

${\displaystyle \vdash P(7)}$,

"7 是素数"，可以通过肯定前件推出

${\displaystyle \vdash \forall xP(x)}$,

"所有自然数都是素数"，这是个矛盾，所以反证法得出这个公式是错的。

注意 P(x) 符号化带有自由变量 x 的开放陈述，它的真实视 x 而定，但是 ${\displaystyle \vdash P(x)}$ 符号化（对于 x 的所有值）有效的一个陈述，即使它的变量 x 是自由的。GEN 应用于这种有效陈述，约束自由变量并生成 ${\displaystyle \vdash \forall xP(x)}$。

所以公式 ${\displaystyle \vdash \forall xP(x)}$ 只是陈述已经被 ${\displaystyle \vdash P(x)}$ 蕴涵的事情的更明确的方式。

在谓词演算中还有一个公理，它声称

${\displaystyle \vdash \forall xP(x)\rightarrow P(x)}$

它通过演绎定理的逆定理可变换成

${\displaystyle \forall xP(x)\vdash P(x)}$,

这意味着从 ${\displaystyle \vdash \forall xP(x)}$ 可以推导 ${\displaystyle \vdash P(x)}$。把 GEN 和这个公理放在一起，你可以推出

${\displaystyle \vdash P(x)\ \equiv \ \vdash \forall xP(x)}$

它的意义不同于

${\displaystyle P(x)\leftrightarrow \forall xP(x)}$（注意：这个公式是错的）。

它是错误的原因是 P(x) 可以是任何偶然的（contingent）、无效的、开放公式。为了从根本上防止这种错误的公式，在谓词逻辑中这个限制被增加到 DT 上。

十字转门符号 ${\displaystyle \vdash }$ 不是合式公式的一部分：严格的说它既不属于命题演算也不属于谓词演算，而可以被认为是一个"元符号"。所以，最终 ${\displaystyle \vdash \forall xP(x)}$ 实际上意义不多于 ${\displaystyle \vdash P(x)}$，因为 ${\displaystyle \vdash }$ 符号实际上不是公式 P(x) 的一部分；比喻来说，它只是用来"抓住"这个公式的一个"把手"。