最大公因數

最大公因數英語:,)也稱最大公約數英語:,)是數學詞彙,指能够整除多個整數的最大正整数。而多個整数不能都为零。例如8和12的最大公因数为4。

整数序列的最大公因数可以記為

求兩個整數最大公因數主要的方法:

  • 列舉法:分別列出兩整數的所有因數,並找出最大的公因數。
  • 質因數分解:分別列出兩數的質因數分解式,並計算共同項的乘積
  • 短除法:兩數除以其共同質因數,直到兩數互質時,所有除數的乘積即為最大公因數。


兩個整數的最大公因數和最小公倍數()的關係為:

兩個整數的最大公因數可用於計算兩數的最小公倍數,或分數化簡成最簡分數

兩個整數的最大公因數和最小公倍數中存在分配律

直角坐標中,兩頂點的線段會通過格子點

概述

例子

54和24的最大公因数是多少?

数字54可以表示為几组不同正整數的乘積:

故54的正因數為

同樣地,24可以表示為:

故24的正因數為

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数

其中的最大數6即為54和24的最大公因數,記為:

互质数

如果两数的最大公因数为1,那么这两个数互質。例如,9和28就是互质数。

几何角度的说明

24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖,即12为24和60的最大公因数。推而广之,如果cab的最大公因数,那么ab的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。

假设有一个大小为24乘60的矩形区域,这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格:1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此,12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域,可以按照12乘12的大小划分正方形网格,一边有两格()、另一边有五格()。

计算

质因数分解法

可以通过質因數分解来计算最大公因数。例如计算,可以先进行质因数分解 ,因为其中表达式的「重合」,所以。实践中,这种方法只在数字比较小时才可行,因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子,计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解:

它们之中的共同元素是两个2和一个3:

[1]
最小公倍数
最大公因数

辗转相除法

相比质因数分解法,辗转相除法的效率更高。

计算时,先将48除以18得到2、余数12,然后再将18除以12得到商1、余数6,再将12除以6得到商2、余数0,即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0,为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的:

其中

如果参数都大于0,那么该算法可以写成更简单的形式:

,
如果 a > b
如果 b > a

性质

  • 任意ab的公因数都是因數
  • 函数满足交换律
  • 函数满足结合律

程式代碼

數字之間的最大公因數之所有因數是該組數字所有的公因數。

以下使用輾轉相除法實現。

C#

private int GCD(int a, int b) {
	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
	return a + b;
}

C++

运行时计算实现:

template < typename T >
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现:

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}

C

int GCD(int a, int b)
{
	if (b)
            while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

Java

private int GCD(int a, int b) {
        if(b==0) return a; 
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

Python

GCD = lambda a, b: (GCD(b, a % b) if a % b else b)

政治用法

最大公約數又指一社會中不同陣營勉強所達之共同利益。

参考文献

  1. Gustavo Delfino, "Understanding the Least Common Multiple and Greatest Common Divisor", Wolfram Demonstrations Project, Published: February 1, 2013.

外部链接

参见

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