有限單群分類

若結果是正確的話，分類表示每個有限簡單群都會是下列每類型的其中一種：

• 質數階循環群
• 至少5階的交替群
• 16種李型群:
  • 典型群
  • 例外或纏繞李群
• 剩下26種被稱為散在群的其中之一（見下表）

此一定理在數學的許多分支都有著廣泛的應用，有關有限群的問題通常可以歸併至有關有限簡單群的問題上，再依此一分類即可將問題限於有限個例子的列舉。

有時提次群會被歸類為一種散在群（在此故而有27個散在群），因為嚴格來說它不是李群。

散在群中的其中五個是在1860年代中由馬提厄（Mathieu）所發現的，而其他的21個則是在1965年至1975年之間被找出來的。有一些此類的群在它們被建構出來前曾被預測其會存在。大多數此類的群是以第一個預測出其存在之數學家來命名的。其完整的列表如下：

• 马蒂厄群 M₁₁、M₁₂、M₂₂、M₂₃、M₂₄
• 揚科群 J₁、J₂(HJ)、J₃(HJM)、J₄
• 康威群 Co₁、Co₂、Co₃
• 費歇爾群 Fi₂₂、Fi₂₃、Fi₂₄(Fi₂₄′)
• 希格曼-西姆斯群 HS
• 麥克勞林群 McL
• 赫爾得群 He(F₇)
• 路多里斯群 Ru
• 鈴木散在群 Suz
• 歐南群 O'N
• 原田-諾頓群 HN(F₅)
• 里昂群 Ly
• 湯普森群 Th(F₃)
• 子怪獸群 B(F₂)
• 怪獸群 M(F₁)

對於所有散在群在有限體上的矩陣表示除了怪獸群之外都已經被算出來了。

在26個散在群當中，有20個可以看做是如怪獸群的子群或其子群的商一般地在怪獸群之內。其他6個為J₁、J₃、J₄、O'N、Ru和Ly。這6個群有時會被稱為賤民(pariahs)。

直至目前為止，對散在群的一個可信的統一敘述方面的進展還是很少。

因為發表出來的文章的長度及複雜度和實際上有些假設的證明還沒有被發表出來，有些人依然對這些文章能否對此定理提供一個完整且正確的證明有所懷疑。讓-皮埃爾·塞爾即為對其證明提出懷疑的人之中很有名的一位。這些懷疑被證實是證明中的空白，這些空間都在之後被找了出來且最終被填補了起來。

經過了一個年代的時間，專家們查覺到了一個「嚴重的空白」（由麥克·亞許巴赫所發現），在Geoff Mason（未發表地）對準薄群的分類上。葛侖斯坦（Gorenstein）在1983年宣稱已完成有限簡單群的分類，部份基於對準薄群方面的證明已完成的認知上。亞許巴赫在1990年代早期將此一空白填補起來。亞許巴赫和史蒂芬·史密斯發表了兩冊約有1300頁的不同證明。

因為有限簡單群分類的證明真的實在是太長了，所以有許多被稱做「修正」的工作，原本由丹尼爾·葛侖斯坦所領導，在找尋著一個更簡單的證明。這即是所謂的二代分類證明。

直到2005年，已有六冊被發表了出來，其他還有許多的原稿存在。亞許巴赫和史密斯的兩冊提供了可以作用在一代和二代證明上有關準薄群方面的一個證明。預計當新的證明完成之後將會有大約5000頁的頁數。（需注意的是，較新的證明會以較豐富的形式寫出。）至2019年，共有八冊證明被發表了出來（1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b）。

葛侖斯坦和其同事給出了一些對於較簡單的證明是可能達成的理由。其中最重要的一點是因為現在已經知道了正確且最終的敘述，而所能應用的技術也已足夠用來研究這些群。相反地，在原本的證明裡，沒有人知道到底有多少個散在群，且實際上有些散在群還是在試圖證明分類定理的過程中被發現出來的，如揚科群，以致於應用了些過份一般的技術。

而且，也因為不知道結論是什麼，甚至有很長的一段時間是令人覺得不可信的，所以原本的證明中有含有許多個單獨的完整定理，分類了一些重要的特例。這些定理為了達成其自身的最終敘述，必須要去分析數個特例。通常，大多數的工作都是在做這些例外的事情。做為一個較大且協調的證明之一部份，這些許多特例都是可以不需要去理會的，當更強的假設被加上來時即可得到。因此而得到的收穫即為，原本的定理在修正後就不再會有那麼較小的證明了，但還是會有一個完整的分類。

不再有那些需要去理會例子的再細分才有效的單獨定理。多個目標的群因此都會有多重的等價。修正後的證明會依靠著不同例子的細分來減少其多餘的部份。

最後，有限群論學家將會有更多的經驗和更新的技術。

• Michael Aschbacher, The Status of the Classification of the Finite Simple Groups, 2004年8月美國數學學會上的介紹
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups （volume 1），AMS, 1994 （volume 2），AMS,
• Ron Solomon: On Finite Simple Groups and their Classification, 1995年美國數學學會上的介紹
• Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985。
• Orders of non abelian simple groups：包含上至一千億目的所有非可換簡單群之列表
• Atlas of Finite Group Representations：包含包括散在群在內的許多有限簡單群的表示及他資料

• The Periodic Table of Finite Simple Groups