循環群

在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群Z/nZ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群，亦即其運算是可交換的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

定義
6次单位根在乘法下形成循環群。z是本原元而 z2 不是，因為z的奇數次冪不是z2的冪。

设為一个群，若存在一G內的元素g，使得，则称G关于运算“ · ”形成一个循环群。由群G內的任意一个元素所生成的群也都是循环群，而且是G的子群。

分类

设有循环群。如果存在不相等的两个整数m和n，使得gm = gn，那么正整数d = |m - n|满足gd = e。所以对任意整数k，gk = gr，其中r是k除以d得到的余数，是一个介乎0与d - 1之间的整数。这说明G是有限群。设dm是所有这样的正整数中最小的一个，则G可以表示为：

可以证明它同构于模dm的加法群。事实上，對每一個正整數n，都存在唯一一個（在同构的意义上）阶為此正整數n的循環群。而所有的n阶循環群都和模n的同余类构成的加法群同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整數关于加法构成的群。因此，循環群已被完全分类，是最簡單的一种群。

例如，若，則G為循環群。G同構於模 6 的加法群：。只需考虑映射：

可以证明其为群同态，而且是双射，因此是群同构。

标记

由于循环群必然是阿貝爾群，且与加法群或整数的加法群同构，它的运算常常會以加法寫出，且被標記為。然而數論中一般會避免使用這種標記，因為它和p进整数构成的環或群的局部化的標記相衝突，容易混淆。因此，数论中一般直接记作，或以乘法寫出，標記為。

性質

每一個循環群要么同構于整数模n的加法群：，要么同构于整數的加法群。因此要研究循环群的性质，只需要研究和作为加法群的性质即可。设G是一个n阶的循環群[N 1]，g是G中一个元素，则：

  • G為交換群。這是因為g + h = h + g mod n。
  • 若n為有限正整数，則gn = e，因為 n mod n = 0。而且n是所有使得gk = e的正整数k中最小的一个。
  • 若n為無限大，則G有且仅有兩個生成元，分别对应于整数中的1和−1。
  • 若n為有限正整数，则G的各个生成元分别对应整数模n加法群中与n互质的数的同余类。例如当n =12时，G的生成元有四个，分别对应着中的四个同余类。
  • G的每一個子群都是循環群。更具体地说，每一個G的m阶有限子群皆為整数模m的加法群。而每一個G的無限子群都可以表示成，同構於。
  • 设p是質數，則阶為p的群都同构于p阶循環群。
  • 和兩個循環群的直積是循環群，当且仅当n和m互質。故是和的直積，而不會是和的直積[N 2]。
  • 阿貝爾群的基本定理说明每一個有限生成阿貝爾群都是有限多個循環群的直積。

例子

在二維和三維空间裡，n折旋轉對稱的對稱群為Cn，屬Zn抽象群類型。在三維裡，亦存在其他代數地相同的對稱群，詳見三維點群。

需留意的是，圓的所有旋轉所組成之群S1(圓群)不是循環的，甚至不是可數的。

  • n次單位根形成一個关于乘法的n阶循環群。
  • 每一個有限域之有限扩张的伽羅瓦群是有限且循環的；相反地，給定一有限域F和一有限循環群G，則存在一個F的有限域擴張，其伽羅瓦群為G。

表示

有限循環群的環圖全是有著其元素在各個角上的n邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素，而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8

子群

所有循環群的子群及商群都是循環的。特別地，Z的子群為mZ的形式，其中m為非负整數。对于不同的 m ，mZ 形式的子群是不同的，且除了當然群(m=0)外都同構於Z。Z的子群格同構於以可除性排序之自然數格的對偶。所有Z的商群都是有限的，除了一個當然的例外Z/{0}之外。對每個n的正因數d，群Z/nZ恰好有一個d目的子群，它由n/d的剩餘類所產生。其不存在其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之n的因數所組成的集合。

其中有一個很特別的：一個循環群是簡單的若且唯若其目（元素數目）為質數。

舉一個實際的問題，給定一個n目之有限子群C，其生成元為g，並要求求得以某一整數k之gk所生成的子群之大小m。這裡，m會是能使mk能被n整除之最小正整數。因此其為n/t，其中t為k和n的最大公因數。換句話說，由gk產生之子群之指標為t。其理由在數論中被稱為指標計算演算法。

自同態

阿貝爾群Zn的自同態環會同構於此阿貝爾群，且使其構成一個環。在此同構之下，數字r會對應於將每個元素映射至其n次乘積之值上之Zn的自同態。此一自同態只有在r和n互質時會是個雙射函數，所以Zn的自同構群會同構於群Zn×(見上面)。Zn的自同構群有時會被稱為Zn的特徵群，且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵的定義。

相似地，加法群Z的自同態環會同構於環Z，且其自同構群會同構於環Z的單位群，即{−1, +1} Z2。

逼肖循環群

一個群稱為逼肖循環（virtually cyclic）的，如果這個群包含一個有限指數的循環子群。換言之，一個逼肖循環群的任何元素，都可表示為這個循環子群的一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖循環的，當且僅當這個群是有限生成並且正好有兩個端。[1]逼肖循環群的一個簡單例子是Z/n和Z的直積，因子Z有有限指數n。任何格羅莫夫雙曲群的阿貝爾子群都是逼肖循環群。[2]

注释
  1. n也可以是無限大，约定“n为无穷大”代表群同构于整数加法群。
  2. 和的直積并不是一个循环群。

参考来源
  1. Stallings, John, , , Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 124–128, 1970, MR 0255689. 特別見p. 126: "If G has two ends, the explicit structure of G is well known: G is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."
  2. Alonso, J. M.; Brady, T.; Cooper, D.; Ferlini, V.; Lustig, M.; Mihalik, M.; Shapiro, M.; Short, H., , (PDF), River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, 1991, MR 1170363.

相关文献
  • Gallian, Joseph, 4th, Boston: Houghton Mifflin, 1998, ISBN 978-0-669-86179-2 （英语）, especially chapter 4.
  • Herstein, I. N., 3rd, Prentice Hall, 1996, ISBN 978-0-13-374562-7, MR1375019, especially pages 53–60.

另見
  • 三維循環對稱群
  • 循環擴張
  • 循環模
  • 同餘
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