柯西-施瓦茨不等式

对于一个內積空間中的向量x和y，有

${\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }$。

其中${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$表示內積，也叫点积。等价地，将两边开方，等式右边即可以写为两向量范數乘积的形式。

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}$

另外，當且僅當x和y線性相關时，等式成立（仅两个向量而言，线性相关等同于平行）。

若${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} }$和${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} }$有虚部，内积即为标准内积。如果用拔（bar，上划线）标记共轭复数，这个不等式可以更明确地表述为

${\displaystyle |x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).}$

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果：內積是连续的，甚至满足一阶利普希茨条件。

• 對歐幾里得空間Rⁿ，有

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$。

等式成立時：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

也可以表示成

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

證明則須考慮一個關於${\displaystyle t}$的一個一元二次方程式 ${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式${\displaystyle D\leq 0}$

注意到

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}$

⇒${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}$

則

${\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}$

即

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

而等號成立於判別式${\displaystyle D=0}$時

也就是此時方程式有重根，故

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

• 對平方可積的複值函數，有

${\displaystyle \left|\int f^{*}(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恒等式

${\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}}$。

这是

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)}$

在n=3 时的特殊情况。

设${\displaystyle x,y}$为列向量，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}$[lower-alpha 1]

x=0時不等式成立，设x非零，${\displaystyle z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x}$，则${\displaystyle x^{*}z=0}$

${\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y}$与${\displaystyle x}$线性相关

设${\displaystyle A}$为${\displaystyle n\times n}$Hermite阵，且${\displaystyle A\geq 0}$，则${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

存在${\displaystyle A^{1/2}}$，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow y}$与${\displaystyle x}$线性相关

设${\displaystyle A}$为${\displaystyle n\times n}$Hermite阵，且${\displaystyle A>0}$，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

存在${\displaystyle A^{1/2},A^{-1/2}}$，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow x}$与${\displaystyle A^{-1}y}$线性相关[1]

若${\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1}$，则${\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}$[2]

设 ${\displaystyle f(z)}$在区域D及其边界上解析，${\displaystyle a}$ 为D内一点，以${\displaystyle a}$为圆心做圆周 ${\displaystyle C_{R}:|z-a|=R}$，只要${\displaystyle C_{R}}$及其内部G均被D包含，则有：

${\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}$

其中，M是${\displaystyle |f(z)|}$的最大值，${\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|}$ 。

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}$[3]

${\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}$[4]

• 三角不等式
• 內積空間