洛特卡-沃爾泰拉方程
洛特卡-沃爾泰拉方程()別稱掠食者—獵物方程。是一个二元一階非線性微分方程組成。經常用來描述生物系統中,掠食者與獵物進行互動時的动态模型,也就是兩者族群規模的消長。此方程分別在1925年與1926年,由阿弗雷德·洛特卡與維多·沃爾泰拉獨立發表。
- y 是掠食者(如狼)的數量;
- x 是獵物(如兔子)的數量;
- dy/dt 與 dx/dt 表示上述兩族群相互對抗的時間之變化;
- t 表示時間;
- α, β, γ 與 δ 表示與兩物種互動有關的係數,皆為正實數。
生物學上的意義
以下將式子乘開,如此可以較容易地解釋方程式的實際意義。
獵物族群的增值速度
第一式所表達的是獵物族群的增值速度:
此模型假設獵物所接受的食物供給已經達到最極限,且除非遭遇掠食者的捕食,否則繁殖數量的增加以指數方式成長,其指數成長的情形,則以上述方程式中的 αx 表現。此外並假設獵物遭遇捕食的比例,和獵物遭遇掠食者的機會成常數比,以上述方程式中的 βxy 表現。如果 x 或 y 其中一個為零,則皆有可能是沒有捕食行為出現。
由上述的方程式可知:獵物族群規模的改變,源於本身受到捕食而產生的成長衰減。
掠食者族群的增值速度
第二式所表達的是掠食者族群的增值速度:
此方程式中的 δxy 表示掠食者族群的成長(可能會與掠食者與獵物的數量比例相似,但是掠食者與獵物的數量比例是以不同的常數表示,且不一定與族群的成長相等。) γy 表示掠食者的自然死亡,為指數衰減。
由上述的方程式可知:掠食者族群規模的改變,是獵食者族群的成長,減去其自然死亡的部分。
方程式的解
此方程式擁有週期性的解,但没有解析解。通过龙格-库塔法的数字计算之後,掠食者與獵物的族群大小變化可以表達成兩個曲线圖形。生態上的實際大致依照此簡單模式,不過詳細狀況會有所出入。
在此模式系統中,當獵物數量充足的時候,掠食者的族群也會興旺起來。不過掠食者的族群最後仍然會因為超過獵物所能供給的數量而開始衰減。當掠食者的族群族群縮減,則獵物族群將會再次增大。兩者的族群大小便以週期性的成長與衰減進行循環。
族群規模的平衡
族群的平衡會發生在族群大小不再變化的時候。例如:兩條微分方程皆等於零的時候。
求解上述方程式的 x 與 y 可得:
以及
由此可知有兩組解。
第一組解實際上是表示兩個物種的滅絕,若是兩個族群皆為零,則此狀況將永久持續下去。第二組解表示一個不動點,意思是兩個族群能夠維持一個不為零的數量,並且在簡單的模型中能夠永久持續。係數 α, β, γ, 與 δ ,能夠決定族群規模將在哪種情況下達成平衡狀態。
參見
- 洛特卡-沃爾泰拉種間競爭方程
- 群體動力學
- 生物數學
参考文献
- Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics, p25, Birkhauser,1997
外部連結
- (英文)