鞍點

廣義而說,一個光滑函數曲線曲面,或超曲面)的鞍點鄰域的曲線,曲面,或超曲面,都位於這點的切線的不同邊。

的鞍點在 (0,0)

一個不是局部極值點駐點稱為鞍點。

參考右圖,鞍點這詞語來自於不定二次型的二維圖形,像個馬鞍:在x-軸往上曲,在y-軸往下曲。

检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法,是计算函数在这个点的黑塞矩阵:如果該矩陣行列式小于0,则该点就是鞍点。例如,函数在驻点黑塞矩阵是:

我们可以看到此矩阵有两个特征值2,-2。它的行列式小於0,因此,这个点是鞍点。然而,这个条件只是充分条件,例如,对于函数是一个鞍点,但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵,并不小於0.

对于一般的多元函数,驻点是鞍点的必要条件是该点的海塞矩阵不定.

的鞍點在 (0,0)

如右圖,一維鞍點看起來並不像馬鞍!在一維空間裏,鞍點是駐點·也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹,或由凹轉凸,鞍點不是區域性極點

思考一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零,二次導數換正負符號·例如,函數 就有一個鞍點在原點。

兩座山中間的鞍點(雙紐線的交叉點)

思考一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍,在某些往上曲,在其他往下曲。在一幅等高線圖裏,一般來說,當兩個等高線圈圈相交叉的地點,就是鞍點。例如,兩座山中間的山口就是一個鞍點。

参见

参考文献

  • Gray,, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert, , Berlin: Springer-Verlag: page 375, 1990, ISBN 0-387-97388-5
  • Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan, 2nd, New York: Chelsea, 1952, ISBN 978-0-8284-1087-8
  • von Petersdorff, Tobias, , , 2006, (原始内容存档于2007-01-03)
  • Widder, D. V., , New York: Dover Publications: page 128, 1989, ISBN 0-486-66103-2

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