测量精度

在1994年国际标准化组织发布的关于测量精度概念的规范文件ISO 5725及其所对应的中华人民共和国国家标准GB/T 6379-2004 《测量方法与结果的准确度（正确度与精密度）》中，对测量精度的描述被分为准确度、正确度和精密度三个概念。该规范性文件的第一部分给出了对这三个概念的定义：

• 准确度（英語：）：测试结果与接受参照值间的一致程度
• 正确度（英語：）：由大量测试结果得到的平均数与接受参照值间的一致程度
• 精密度（英語：）：在规定条件下，独立测试结果间的一致程度

与之相关的还有偏倚、重复性、再现性的概念：

• 偏倚（英語：）：测试结果的期望与接受参照值之差
• 重复性（英語：）：在重复性条件下的精密度
• 再现性（英語：）：在再现性条件下的精密度

另外，对于准确度，ISO 5725注明”当用于一组测试结果时，由随机误差分量和系统误差即偏倚分量组成“；对于重复性的注明是“正确度的度量通常用术语偏倚表示”以及“准确度曾被称为‘平均数的准确度’，这种用法不被推荐”；对于精密度的注明则是“精密度仅仅依赖于随机误差的分布而与真值或规定值无关”“ 精密度的度量通常以不精密度表达，其量值用测试结果的标准差来表示，精密度越低，标准差越大”。[4][5]

除GB/T 6379-2004以外，中华人民共和国国家计量技术规范JJF 1001-2001 《通用计量术语及定义》中亦以相近的描述对准确度、正确度和精密度作出了定义。[6]

中国大陆使用的测绘学领域规范性文件GB/T 14911-2008 《测绘基本术语》中仅对“准确度”与“精密度”作出了定义：[7]

• 准确度（英語：）：在一定测量条件下，对某一次的多次测量中，测量值的估值与其真值的偏离程度
• 精密度（英語：）：在一定测量条件下，对某一次的多次测量中，各测量值间的离散程度

可见，测绘学中的“精密度”与ISO 5725及GB/T 6379-2004的概念相近，但前者的“准确度”则更接近于后者“正确度”的概念。而对于后者的“准确度”，测绘学有使用“精确度”一词来代称的情况。[1]另外，测绘学中的“精度指标”通常是指平均误差、中误差、极限误差与相对误差等衡量精密度的指标。[8][9]在不存在系统误差时，测绘学中的“精确度”即可由“精度（精密度）”代称；而存在系统误差时，测绘学中的“精确度”则应由“精度（精密度）”和“准确度（正确度）”共同衡量。[2]

高正确度，高精密度

高正确度，低精密度

低正确度，高精密度

低正确度，低精密度

偶然误差是指在大小和符号上表现出偶然性，但总体上符合一定统计规律的误差，其数学期望为零。精密度即是对偶然误差统计的描述。

根据 ${\displaystyle \operatorname {E} [\Delta ]=0}$ 的特性，可以得出偶然误差的中误差[註 1]为：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} [\Delta ^{2}]-\operatorname {E} [\Delta ]^{2}}}={\sqrt {\operatorname {E} [\Delta ^{2}]}}}$

其估计值由下列公式计算

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta ^{2}}{n}}}}$

通过方差是中误差的平方的关系，亦可得到偶然误差的方差及其估计值。

对于正态分布，误差分布于与平均值距离一倍及二倍、三倍中误差之间的概率分别为

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Pr} (-\sigma <\Delta <+\sigma )=68.3\%\\\operatorname {Pr} (-2\sigma <\Delta <+2\sigma )=95.5\%\\\operatorname {Pr} (-3\sigma <\Delta <+3\sigma )=99.7\%\end{cases}}}$

在远离平均值时，误差出现的概率相当接近于零，可以在假设检验中将其排除，而选定的排除“该误差是偶然误差”这一假设的极限值即为极限误差。在测量学中，常以二倍或三倍中误差作为极限误差。

平均误差即平均绝对误差，对于一定观测条件下的某组独立的偶然误差来说，是其绝对值的数学期望：[1][10][11]

${\displaystyle \theta =\operatorname {E} [\left\vert \Delta \right\vert ]}$

相应的估计值为

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\vert \Delta \right\vert }$

根据正态分布的概率分布函数，可以得出平均误差 ${\displaystyle \theta }$ 与中误差 ${\displaystyle \sigma }$ 之间的数学关系：

${\displaystyle \theta =\int _{-\infty }^{+\infty }\left\vert \Delta \right\vert f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta =\int _{0}^{+\infty }2\Delta f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta ={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma }$

即有

${\displaystyle \theta \approx 0.7979\sigma }$

或然误差 ${\displaystyle \rho }$ 是使区间 ${\displaystyle (-\rho ,+\rho )}$ 内的累积概率分布为 ${\displaystyle 1/2}$ 的值，即：[1][12]

${\displaystyle \int _{-\rho }^{+\rho }f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta ={\frac {1}{2}}}$

且可解得

${\displaystyle \rho \approx 0.6745\sigma }$

观测量 ${\displaystyle X}$ 中存在的系统误差是指观测量的真实值 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 与其数学期望 ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ 之间的差值：

${\displaystyle \varepsilon ={\tilde {X}}-\operatorname {E} [X]}$

观测量 ${\displaystyle X}$ 的均方误差 ${\displaystyle \operatorname {MSE} [X]}$ 通过下列公式计算：[1][11]

${\displaystyle \operatorname {MSE} [X]=\operatorname {E} [(X-{\tilde {X}})^{2}]}$

将其进行分解，可以得出以方差和系统误差的平方和表示的均方误差：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {MSE} [X]&=\operatorname {E} [(X-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [[(X-\operatorname {E} [X])+(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})]^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}+2(X-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})+(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]+2\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})]+\operatorname {E} [(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\sigma _{X}^{2}+2(\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})+\varepsilon ^{2}\\[4pt]&=\sigma _{X}^{2}+\varepsilon ^{2}\\[4pt]\end{aligned}}}$

因此，均方误差被认为同时包含了对偶然误差和系统误差的定量描述，可以衡量测量学中的“精确度”。

• 武汉大学测绘学院测量平差学科组．误差理论与测量平差基础（第三版）．武汉：武汉大学出版社，2014．ISBN 978-7-307-12922-1．
• Taylor, John. Introduction to error analysis, the study of uncertainties in physical measurements. 1997. ISBN 0-935702-42-3.

• ISO 5725-1:1994(en) Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 1: General principles and definitions（英文）
• 中华人民共和国国家标准，GB/T 6379.1-2004 测量方法与结果的准确度（正确度与精密度） 第一部分：总则与定义
• 中华人民共和国国家标准，GB/T 14911-2008  测绘基本术语
• 中华人民共和国国家计量技术规范，JJF 1001-2001 通用计量术语及定义