消失量之鬼

考慮下例：函數 y = x²可通过如下商数进行微分：

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

即y的增量（通常用Δy表示）除以x的增量（通常用Δx表示）。这个表达式可以通过代数方法化简为：

${\displaystyle 2x+\Delta x.\,}$

为了得到原函数对应的导数，也就是2x，我们必须将无穷小量Δx去掉。因此，这个建立商数时被假设为非零（否则数无意义）的无穷小量 ，在计算的最后一步却竟然被视为零而去除了。总之，一个“消失量”（Δx = 0），却不会在“幽灵般地”出现（Δx ≠ 0）。贝克莱认为，这样一个矛盾将侵蚀微积分这门新学科的逻辑根基。

关于这个悖论，其中一个可能的解决方案是建立在超实分析中的standard part function“st”之上的（参见非标准微积分）。即：将导数定义为：

${\displaystyle {\rm {st}}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}$

替代原来的无穷小量定义。亚伯拉罕·罗宾逊在他1966年的著作《非標準分析》中写下如下的一段话：

这本书将证明莱布尼茨的理论是完全正确的，而这些理论将引出一个新奇而终将硕果累累的、通向经典分析和许多其它数学分支的研究方法。这种方法的关键就是详尽分析数学语言和数学结构之间的关系；而这两者之间的关系，又正是当代模型理论的基础。

• David R. Wilkins'的网页上的分析学家 页面存档备份，存于。内有指向贝克莱同年代人物的评论的链接。