環的譜

對於交換環 ${\displaystyle A}$ 裡的任一理想 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$，置 ${\displaystyle V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}}$。容易證明下述性質：

• ${\displaystyle V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})}$
• ${\displaystyle V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})}$
• ${\displaystyle V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})}$若且唯若${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}}$

因此我們可以在${\displaystyle Spec(A)}$上定義一個拓撲結構，使得其閉子集恰為形如${\displaystyle V({\mathfrak {a}})}$的子集，稱之扎里斯基拓撲。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層：

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}}$

令${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$為其層化，稱作${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$的結構層。顯然有${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}}$，故${\displaystyle (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})}$構成一個局部賦環空間。

一個元素${\displaystyle a\in A}$給出${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$的截面，事實上可以證明${\displaystyle \Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A}$。

設${\displaystyle A,B}$為交換環，${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$為一同態，則可定義一個映射${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$，這是從${\displaystyle \mathrm {Spec} (B)}$到${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$的連續映射，在結構層上則以${\displaystyle a\mapsto \phi (b)}$定義${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}}$，那麼${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

令${\displaystyle k}$為代數封閉域，給定${\displaystyle f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$（i=1,2,...），則方程組${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$定義一個代數簇${\displaystyle X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$。

設${\displaystyle {\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$，${\displaystyle A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}} }$。根據希爾伯特零點定理，${\displaystyle X}$的點一一對應到${\displaystyle A}$的極大理想。

一般而言，${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$內的元素一一對應到${\displaystyle X}$內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一，在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點（generic point）理論；此外，環同態不一定將極大理想拉回到極大理想，除非該環是 Jacobson 環。

${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$的拓撲結構僅涉及${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$。${\displaystyle A}$裡的冪零元素看似無幾何意義，但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

• 《代數幾何基礎》