皮亚诺曲线

1890年，意大利数学家朱塞佩·皮亞諾（義大利語：）发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线，其构造方法如下：取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……将这种操作手续无限进行下去，最终得到的极限情况的曲线就被称作皮亚诺曲线。

皮亚诺曲线的構建

皮亚诺曲线（英語：）是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维，正方形是2维。

皮亚诺对区间${\displaystyle [0,1]}$上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于${\displaystyle t\in [0,1]}$，可规定两个连续函数${\displaystyle x=f(t)}$和${\displaystyle y=g(t)}$，使得${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。

一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。

这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中，维数可以是分数叫做分维。

此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线，就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。