等价关系

等價關係（equivalence relation）即设${\displaystyle R}$是某個集合${\displaystyle A}$上的一个二元关系。若${\displaystyle R}$满足以下條件：

1. 自反性：${\displaystyle \forall x\in A,~~xRx}$
2. 对称性：${\displaystyle \forall x,y\in A,~~xRy~~\implies ~~yRx}$
3. 传递性：${\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~(xRy~~\wedge ~~yRz)~~\implies ~~xRz}$

则称${\displaystyle R}$是一個定义在${\displaystyle A}$上的等价关系。習慣上會把等價關係的符號由${\displaystyle R}$改寫為${\displaystyle \sim }$。

例如，设${\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,8\}}$，定义${\displaystyle A}$上的关系${\displaystyle R}$如下：

${\displaystyle xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}}$

其中${\displaystyle x\equiv y{\pmod {3}}}$叫做${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$模3 同餘，即${\displaystyle x}$除以3的餘数与${\displaystyle y}$除以3的餘数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证${\displaystyle R}$为${\displaystyle A}$上的等价关系。

并非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：

• 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（${\displaystyle n\ngtr n}$）
• 沒有對稱性：如果${\displaystyle m>n}$，就肯定不能有${\displaystyle n>m}$