共轭类

设G为群。对于G中共轭的两个元素a和b，必存在G中一个元素g，满足

gag⁻¹ = b。

（在线性代数中，這叫做相似變換。）

很容易证明共轭是等价关系，因此将G分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类Cl(a)和Cl(b)相等当且仅当a和b共轭，否则不相交。）包含元素a属于G的等价类是

Cl(a) = { gag⁻¹: g ∈ G }

并称为a的共轭类。G的类数是共轭类的个数。

对称群S₃，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

• 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
• 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
• 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群S₄，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

• 恒等
• 对换
• 三阶轮换
• 四阶轮换
• 双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

• 在${\displaystyle n\times n}$矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

• 单位元总是自成一类，也就是说Cl(e) = {e}

• 若G可交换，则gag⁻¹ = a对于所有a和g属于G成立；所以Cl(a) = {a}对于a属于G成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

• 若G的两个元素a和b属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的階。更一般地讲，每个关于a的命题可以转换成关于b=gag⁻¹的一个命题，因为映射φ(x) = gxg⁻¹是一个G的自同构。

• G的一个元素a位于G的中心Z(G)当且仅当其共轭类只有一个元素，a本身。更一般地讲，若C_G(a)代表G中的a的中心化子，也即，有所有满足ga = ag的元素g组成的子群，则指数[G : C_G(a)]等于a的共轭类中元素的个数。

若G为有限群，则上节的内容，加上拉格朗日定理，可以得出如下结论：每个共轭类的元素个数整除G的階。

进一步的有，对于任何群G，可以通过从G的每个元素个数大于1的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集S = {x_i}。则G是Z(G)和S的元素的共轭类Cl(x_i)的不交并集。由此可以写出重要的类方程：

|G| = |Z(G)| + ∑ _i [G:H _i ]

其中求和取遍对于每个S中的x_i的H_i = C_G(x_i)。注意[G : H_i]是共轭类i的元素个数，一个|G|的大于1的除数。如果|G|的除数已知，则该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg⁻¹。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg⁻¹ = hSh⁻¹当且仅当gh ⁻¹属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg⁻¹

则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg⁻¹。

• 群
• 群作用
• 中心化子和正规化子

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
• Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
• Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X