維面

幾何學中,維面Facet)又稱為超面hyperface[1])是指幾何形狀的組成元素中,比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素[5]。也是任何多胞形的邊界。而若在維面前加一個整數則代表幾何形狀的組成元素中,維度為該數的元素,例如在立方體中2維面(2-Face)是指立方體的正方形面。一般來說,維面Facet)不應與面(Face)混淆[6][7]。一般的多胞形皆是以維面的數量命名,例如六邊形的維面是邊,其共有六條邊因此稱六邊形、八面體的維面是面,其共有八個面因此稱八面體。

維面

幾何學中,維面多面體多胞形或相關幾何結構的特徵之一,其通常可以用來描述該幾何結構的主要屬性。

多面體的維面

在三維幾何中,多面體的維面是指所有頂點都是多面體頂點的多邊形面。在部分幾何結構中有可能存在不是維面的面[6][7]。而維面重組,或稱刻面是指找到新的維面形成新的多面體的過程,這個過程有時可以稱作星形化,並可以套用到更高維度的幾何結構。

多胞形的維面

多面體組合學和一般的多胞形理論中,n維多胞形中的n  1維元素稱為維面。維面也稱為(n  1)維面、(n  1)面或(n  1)-面。而在在三維幾何學通常稱為面而不是維面[8]

单纯复形的維面

单纯复形中,单纯复形的維面是一個单纯复形中最大的单纯形,且這個单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。[9]對於单纯多胞形的邊界複合體,此定義與多面體組合學一致。

多維面

幾何學中,維面一詞前面若加一個整數,則代表一幾何結構中維度為該整數的元素,此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素,又稱k面k-面k維元素而在更高維度中,有時會稱為k維胞,這一用法並未限定元素的所屬維度。[2][3][4]例如立方體的多維面包括了空多胞形(負一維面)、頂點(零維面)、邊(一維面)、正方形(二維面,一般稱面)和其本身(三維面,一般稱體)。正式地,對於一個多胞形P,多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構(如交點、交線或交面等)[2][4]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形[3][4]

負一維面

正方形中的負一維面、零維面、一維面和二維面。

在抽象幾何學中,負一維面是多胞形中的元素集合中,不存在任何元素的子集,[10]對應到集合論中即為空集[11]且所有多胞形都含有空多胞形[12]。這種面通常稱為多胞形的極小面(least face)[13]、核維面或零化度([14])。

零維面

零維面為幾何結構中的零維元素,即頂點,通常由幾何結構的元素相交於點上形成。[15]

一維面

一維面為幾何結構中的一維元素,即邊或稜,通常由二個或多個幾何結構的元素交於一線而形成。[16]

二維面

二維面為幾何結構中的二維元素,通常會省略前面的維度直接稱[17]

三維或更高維度的面

三維或更高維度的面通常稱為胞[10][18],更高維度的胞通常會以其維度稱呼,例如四維胞、五維胞等。[19][20]

n維面

若一個多胞形其維度就是n維,則n維面為該多胞形本身,通常稱為,而在抽象幾何學中,也稱為極大面(Greatest Face)[13],並且與極小面合稱非法面(Improper Face)。[21]

(n-1)維面

若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-1)維的元素稱為維面(Facet)[5]

(n-2)維面

若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-2)維的元素稱為維脊(Ridge)[22]

(n-3)維面

若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-3)維的元素稱為維峰(Peak)[23]

參見

參考文獻

  1. N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
  2. Matoušek, Jiří, , Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-10).
  3. Grünbaum, Branko, , Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], (原始内容存档于2013-10-31).
  4. Ziegler, Günter M., , Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-12).
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  6. Bridge, N.J. Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
  7. Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette, 90 (2006), pp. 253–261.
  8. Matoušek, Jiří, , Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-10).
  9. De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco, , Algorithms and Computation in Mathematics 25, Springer: 493, 2010, ISBN 9783642129711.
  10. H. S. M. Coxeter. . Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589.
  11. Johnson, Norman. . Citeseer. 2003 [2019-09-16]. (原始内容存档于2017-03-05).
  12. Guy Inchbald. . steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. (原始内容存档于2016-08-19).
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  15. Heath, Thomas L. 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications. 1956.
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  19. . [2019-09-16]. (原始内容存档于2018-10-18).
  20. 施开达, 马利庄. . 自然科学进展: 国家重点实验室通讯. 1999, 9 (A12): 1336––1341.
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  22. Matoušek (2002)[2], p. 87; Ziegler (1995)[4], p. 71.
  23. Nishio, Kengo and Miyazaki, Takehide. . Scientific reports (Nature Publishing Group). 2017, 7: 40269.

外部連結

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