線圖

图论中,所对应的线图是一张能够反映中各边邻接性的图,记作。简单来说,中的每条边各自抽象成一个顶点;如若原图中两条边相邻,那么就给线图中对应顶点之间连接一条边。因为线图将原图的边化作了顶点,所以也可以将其视作原图的一种对偶。

哈斯勒·惠特尼证明了:假定图连通的,那么除了一种特殊情况外,我们总能根据线图的结构还原出的结构[1]。以该定理为中介,可以证明线图的许多其它性质。线图总是无爪图,即线图的所有导出子图均不是

正式定義

線圖定義如下:

  • 的一個頂點對應的一邊
  • 的頂點相鄰若且唯若它們在對應的邊相鄰(有公共頂點)。

该定义也可以用图论的语言表述如下:设,那么,且

例子

下面的例子演示了由原图生成线图的流程。

性質

有些圖總不是線圖

由原图转移过来的性质

根据线图的定义,若性质/概念P仅取决于原图中边的邻接性,那么P便可以转移(或者说对偶)到线图上去变成性质/概念P',刻画线图顶点的邻接属性。例如,图中的一个匹配指的是图中一组不相交的边,把这一概念平移到线图上去,就等价于线图的一组不相邻的顶点——用术语来说即线图上的一个独立集

下面就列举了原图和线图之间的若干联系:

  • 若原圖是連通的,線圖也是。
  • 若两个图同构,那么它们的线图也同构。
  • 的顶点数和边数分别为,那么的顶点数和边数分别是
  • ,即原圖的邊色數等於線圖的點色數
  • 中的一个匹配对应了中的一个独立集,且其大小相等。于是,中最大匹配的大小等于最大独立集的大小。借助这一关系,可以通过求解后者来求解前者,但反之不总是可行,因为并非所有图都能表示为某个的线图。在计算机科学中,最大匹配问题和最大独立集问题是两个重要的问题。前者已经被高效解决(Edmonds' Blossom Algorithm);而后者则是NP完全问题,被普遍认为无法高效求解。
  • 存在欧拉回路,则存在哈密顿回路,但反之不然。

惠特尼同构定理

惠特尼同构定理[1]阐述了以下事实:设有连通图且它们均不是三角形或爪形。如果,那么。也就是说,除了极特殊的情形,图的结构可以由线图的结构中唯一地恢复出来。

其它性质

任何的线图都是无爪的,亦即不包含作为导出子图。因此,任意含有偶数个顶点的连通线图都存在完美匹配。

线图邻接矩阵的全部特征值都不小于-2。这是因为,其中是原图关联矩阵(incidence matrix)。又由于矩阵是半正定的,所以的任何特征值均满足

等价刻画

九种排除在线图之外的导出子图

Beineke给出了线图的一种等价刻画:是某图的线图当且仅当不包含九种类型的导出子图(见右图)。[2]

如果的最小至少为5,那么只有左边一列和右边一列是必要的。换言之,此时,是某图的线图当且仅当不包含六种类型的导出子图(见右图的左边一列和右边一列)。

参考文献

  1. Whitney, Hassler. . American Journal of Mathematics. 1932-01, 54 (1): 150. doi:10.2307/2371086.
  2. Beineke, Lowell W. . Journal of Combinatorial Theory. 1970-09-01, 9 (2): 129–135. ISSN 0021-9800. doi:10.1016/S0021-9800(70)80019-9 (英语).
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