罗素悖论
羅素悖論
我们通常希望:任给一个性質(例如:"年滿三十歲"就是一個性質),满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论:
罗素悖论:设有一性質,並以一性質函数表示:,且其中的自變量有此特性:,
现假设由性质能夠确定一个滿足性質的集合——也就是说 。那么现在的问题是是否成立?
首先,若,则是的元素,那么具有性质,由性質函数可以得知;
其次,若,根據定義,是由所有滿足性質的類組成,也就是说,具有性质,所以。
罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。
罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。
理发师悖论和罗素悖论等价
理发师悖论和罗素悖论是等价的:
因为,如果把每个人对应一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他对应的集合里的元素,都是城里不属于自己对应的集合的人,并且城里所有不属于自身对应集合的人都属于理发师对应的集合,那么他是否属于他自己对应的集合?这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。[1]
另一種等價的悖論為書目悖論,第一類的書的目錄有它自己的條目,經典的例子就是維基百科,第二類的書目錄則沒有它自己的條目,一般的書目都是如此,問:若把所有第二類的書做個總目錄,它應不應該含有它自己的條目?
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