罗素悖论

我们通常希望：任给一个性質(例如："年滿三十歲"就是一個性質)，满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设有一性質${\displaystyle P}$，並以一性質函数表示：${\displaystyle P(x)}$，且其中的自變量${\displaystyle x}$有此特性：${\displaystyle x\not \in x}$，

现假设由性质${\displaystyle P}$能夠确定一个滿足性質${\displaystyle P}$的集合${\displaystyle A}$——也就是说 ${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$。那么现在的问题是${\displaystyle A\in A}$是否成立？

首先，若${\displaystyle A\in A}$，则${\displaystyle A}$是${\displaystyle A}$的元素，那么${\displaystyle A}$具有性质${\displaystyle P}$，由性質函数${\displaystyle P}$可以得知${\displaystyle A\not \in A}$；

其次，若${\displaystyle A\not \in A}$，根據定義，${\displaystyle A}$是由所有滿足性質${\displaystyle P}$的類組成，也就是说，${\displaystyle A}$具有性质${\displaystyle P}$，所以${\displaystyle A\in A}$。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人对应一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他对应的集合里的元素，都是城里不属于自己对应的集合的人，并且城里所有不属于自身对应集合的人都属于理发师对应的集合，那么他是否属于他自己对应的集合？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。[1]

另一種等價的悖論為書目悖論，第一類的書的目錄有它自己的條目，經典的例子就是維基百科，第二類的書目錄則沒有它自己的條目，一般的書目都是如此，問：若把所有第二類的書做個總目錄，它應不應該含有它自己的條目？

• 理发师悖论
• 公理化数学
• 类的理论
• 罗素公理体系

1. Press, The MIT. . The MIT Press. [2019-08-30] （英语）.