群環

在抽象代數中，群環是從一個群 ${\displaystyle G}$ 及交換環 ${\displaystyle R}$ 構造出的環，通常記為 ${\displaystyle R[G]}$ 或 ${\displaystyle RG}$。其定義為：

${\displaystyle R[G]:=\bigoplus _{g\in G}Re_{g}\qquad }$ （換言之，這是由基底 ${\displaystyle \{e_{g}:g\in G\}}$ 張出的自由 ${\displaystyle R}$-模）

其上的 ${\displaystyle R}$-線性乘法運算由 ${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}}$ 給出。${\displaystyle R[G]}$ 對 ${\displaystyle R}$-模的加法與上述乘法形成一個 ${\displaystyle R}$-代數。乘法單位元素為 ${\displaystyle 1:=e_{e}}$。

最常用的是 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ 或 ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ 的群環。對於後者，${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ 成為 ${\displaystyle G}$ 的表示：${\displaystyle s\sum a_{g}e_{g}=\sum a_{g}e_{sg}}$；若 ${\displaystyle G}$ 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 ${\displaystyle G}$，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 ${\displaystyle C_{c}(G)}$ 或 ${\displaystyle L^{1}(G)}$ 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。