联合分布

对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为Pr(X = x & Y = y)，即

${\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}$

因为是概率分布函数，所以必须有

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}$

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为f_X,Y(x, y)，其中f_Y|X(y|x)和f_X|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；f_X(x)和f_Y(y)分别代表X和Y的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

$${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$$

對於兩相互獨立的事件${\displaystyle P(X)}$及${\displaystyle P(Y)}$，任意x和y而言有离散随机变量${\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$，或者有连续随机变量${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$。

2元联合分布可以推广到任意多元的情况X₁, ..., X_n

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}$

• 耦合 (概率)

• PlanetMath上Joint continuous density function的資料。