胡克定律

定律/定律()，是力学弹性理论中的一条基本定律，內容：固体材料受力後，应力與应变(單位變形量)成線性關係，满足此定律的材料：线弹性/胡克型(Hookean)

从物理的角度看，胡克定律源于多数固体(或孤立分子)内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。

许多实际材料，如一根长度为 $L$ 、横截面积 $A$ 的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其單位伸长（或縮減）量 $\varepsilon$ （应变）在常系数 $E$ （称为弹性模量）下，与拉（或壓）应力 $\sigma$ 成正比例，即：

\sigma =E\varepsilon

或

\Delta L={\frac {1}{E}}\times L\times {\frac {F}{A}}={\frac {1}{E}}\times L\times \sigma

$\Delta L$ ：總伸長（縮減）量。胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的名字命名。胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”（见参考文献[1]），这正是胡克定律的中心内容。

胡克定律仅适用于特定加载条件下的部分材料。钢材在多数工程应用中都可视为线弹性材料，在其弹性范围内（即应力低于屈服强度时）胡克定律都适用。另外一些材料（如铝材）则只在弹性范围内的一部分区域行为符合胡克定律。对于这些材料需要定义一个应力线性极限，在应力低于该极限时线性描述带来的误差可以忽略不计。

还有一些材料在任何情况下都不满足胡克定律（如橡胶），这种材料称为“非胡克型”（neo-hookean）材料。橡胶的刚度不仅和应力水平相关，还对温度和加载速率十分敏感。

胡克定律在磅秤制造、应力分析和材料模拟等方面有广泛的应用。

弹簧方程

胡克定律能精确地描述普通弹簧在变形不太大时的力学行为。

胡克定律应用的一个常见例子是弹簧。在弹性限度内，弹簧的弹力 $F$ 和弹簧的长度变化量 $x$ 成線性關係，即：

F=-kx

$k$ ：弹簧的劲度系数(彈力係數)，由材料性质、几何外形决定，负号：弹簧产生的弹力与其伸长(压縮)的方向相反，这种弹力称为回復力，表示它有使系统回復平衡的趋势。满足上式的弹簧称为线性弹簧。

通过变形储存在弹簧中的弹性势能为：

U={1 \over 2}kx^{2}

该式可以理解为弹簧在压缩过程中逐小段做负功的极限累加，数学上就是作用力对作用距离的定积分（注意势能恒为正值）。

势能函数在 $U-x$ 平面内是一段抛物线。随着弹簧沿 $x$ 方向变形（无论拉伸还是压缩），势能相应增加。非平衡状态时的势能总是高于平衡状态（ $x=0$ ）时的势能。所以弹簧力的作用总是使系统向势能减少的方向运动，正如在半山上的球在重力的作用下总是要往山下（重力势能小的地方）滚一样。

如果将一块质量悬挂在这样一个弹簧的末端，然后对它施加一个轴向扰动（可以是敲打或拉开一段距离突然松手），质量和弹簧组成的系统将会以下列固有角频率（又称共振角频率）开始振动：

\omega _{n}={\sqrt {k \over m}}

低碳钢的应力-应变曲线。胡克定律描述的仅为原点到屈服点之间的那一段陡峭的直线。
1. 最大强度
2. 屈服强度
3. 破坏点
4. 应变硬化区
5. 颈缩区

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述，需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量 $\varepsilon _{ijkl}$ 以联系二阶应力张量 $\sigma _{ij}$ 和应变张量（又称格林张量） $\varepsilon _{kl}$ 。

\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}

由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的。

由于应力的单位量纲（力/面积）与压强相同，而应变是无量纲的，所以弹性常数张量 $c_{ijkl}$ 中每一个元素（分量）都具有压强的量纲。

对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型（neo-Hookean solids）和Mooney-Rivlin型固体模型。

胡克定律的张量形式

（在牛顿流体中的类比参见粘性词条。）

各向同性材料（isotropic materials，也译作等向性材料）顾名思义就是（力学）性能沿空间中不同方向不发生变化的材料。显然描述这种材料的物理方程的形式不应随坐标系的旋转而改变。材料内部的应变张量也应该是对称的。由于任何张量的迹都是一个与所选坐标系无关的量，所以可以完备地将一个对称张量分解为一个常张量（即除主对角线上的分量以外均为0的张量）和一个迹为0的对称张量之和。即：

\varepsilon _{ij}=\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

其中 $\delta _{ij}$ 是一个二阶单位张量（通过克罗内克δ记号来定义）。上式右边第一项是一个常张量，称为应变张量的静水压分量；右边第二项是一个迹为0的对称张量，称为剪应变分量。

对于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是将应力张量写成上述两个应变张量分量的线性组合：

\sigma _{ij}=3K\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

式中K称为体积模量， $G$ 是材料的剪切模量。

利用弹性力学理论中的弹性常数和实际工程应用中使用的弹性模量之间的关系，以上的关系还可写成其他形式，譬如下面这组方程用应力张量来表示了应变张量：

${\begin{cases}\varepsilon _{11}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{22}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{33}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)\\\varepsilon _{12}={\cfrac {\sigma _{12}}{2G}}\\\varepsilon _{13}={\cfrac {\sigma _{13}}{2G}}\\\varepsilon _{23}={\cfrac {\sigma _{23}}{2G}}\end{cases}}$

式中 $Y$ 称为杨氏模量， $\nu$ 为泊松比。

正交各向异性材料

正交各向异性材料是非常常见的一种材料模型，这种材料有三个互相正交的材料对称面；其三维胡克定理可以用矩阵表示为

${\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\end{pmatrix}}$

此式中独立的材料常数为9个。注意式中三个剪切应力和三个剪切应变的顺序，不同教科书可能会不同的选择。

各向同性材料也是正交各向异性材料的一种特例，即有无数个对称平面的情况。这时独立材料常数只有 $2$ 个，即杨氏模量和泊松比。

参见

杨氏模量

参考文献

[1] Y. C. Fung （冯元桢）, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965
[2] A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity, 4th ed

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