自然變換
在數學的範疇論中,自然變換是將一個函子變為另一個函子,使相關範疇的內在結構(就是態射間的複合)得以保持。因此可以將自然變換視為「函子間的態射」。這一看法其實也能形式化,定義出函子範疇。自然變換與範疇及函子一樣,都是範疇論很基本的概念。
定義
設C和D是範疇,F和G是C和D之間的函子。一個從F到G 的自然變換η,對C中每個對象,給出一個在D的對象間的態射ηX : F(X) → G(X),稱為η在X處的分量(component),使得對C中每個態射f : X → Y都有:
上式可表達為交換圖表:
如果F和G都是反變函子,將圖表中的水平箭號方向反轉。若η是從F到G 的自然變換,可記為η : F → G或η : F ⇒ G。這也可表達為態射族ηX : F(X) → G(X)在X中是自然的。
若對C中每個對象X,態射ηX是在D中的同構,則稱η為自然同構。對兩個函子F和G,若存在從F到G 自然同構,則稱F和G為自然同構的,或簡稱為同構的。
自然變換的運算
若η : F → G和ε : G → H是函子F,G,H : C → D間的自然變換,則可以將之複合得到自然變換ε ⋅ η : F → H,其分量為(ε ⋅ η)X = εXηX。這種「垂直複合」有結合律,並有單位元。這個複合運算可以使全部函子C → D形成一個範疇。(見下節函子範疇。)
自然變換也有「水平複合」。若η : F → G是函子F,G : C → D間的自然變換,ε : J → K是函子J,K : D → E間的自然變換,則可用函子間的複合得出自然變換間的複合。這個運算也有結合律,並有單位元,單位元和「垂直複合」的單位元相同。以上兩種複合之間有一條恆等式,這條恆等式將垂直和水平複合兩者交換。
若η : F → G是函子F,G : C → D間的自然變換,而H : D → E是另一個函子,那麼自然變換Hη : HF → HG定義為
若K : B → C是一個函子,自然變換ηK : FK → GK定義為
函子範疇
設C是一個範疇,I是一個小範疇,那麼可以形成函子範疇 CI,其對象為所有從I到C的函子,而其態射為這些函子間的自然變換。如此形成的是一個範疇,因為對任何函子F都有一個單位自然變換1F : F → F(對每個對象X都給出F(X)上的單位態射。),而兩個自然變換的複合(上述的「縱向複合」)也是一個自然變換。
函子範疇CI中的同構恰好是自然同構,也就是說一個自然變換η : F → G是自然同構,當且僅當存在一個自然變換ε : G → F,使得ηε = 1G及εη = 1F。
參考
- Mac Lane, Saunders, , Graduate Texts in Mathematics 5 2nd, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98403-8
- MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett, 3rd, AMS Chelsea Publishing, 1999, ISBN 0-8218-1646-2.