自由對象

範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$。其上具有一個遺忘函子${\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$，此函子將一個對象映至其下的集合；換言之，此函子「遺忘」所有代數操作。

若${\displaystyle U}$有左伴隨函子${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}}$，則稱之為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的自由函子。${\displaystyle F(X)}$可以設想為由集合${\displaystyle X}$生成的自由對象，此時也有映射${\displaystyle X\to F(X)}$（在此濫用了符號：其實${\displaystyle F(X)}$是個代數結構，而${\displaystyle X}$卻是集合），此映射可理解為從生成元到自由對象的包含映射。

對於更一般的遺忘函子，也能考慮相應的自由函子，例如從${\displaystyle k}$-向量空間映至其張量代數的函子，便是從${\displaystyle k}$-代數映至${\displaystyle k}$-向量空間的遺忘函子之左伴隨函子。在此意義下，張量代數有時也稱為自由代數。

• 自由半群
• 自由么半群
• 自由群
• 自由阿貝爾群
• 自由模
• 自由格
• 自由代數