莱恩－埃姆登方程

考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

這裡 ${\displaystyle \rho }$ 是 ${\displaystyle r}$ 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$

${\displaystyle m}$ 也是 ${\displaystyle r}$ 的公式。再一次求導數可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$

這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 ${\displaystyle r^{2}}$，並將帶有 ${\displaystyle P}$ 的導數的項置於左側，方程式成為：

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$

方程式兩側除以 ${\displaystyle r^{2}}$，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程 ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ 和 ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ 代入，可得到：

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$

將常數聚集並以 ${\displaystyle r=\alpha \xi }$ 取代：

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G}$,

最後得到莱恩－埃姆登方程：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

同樣地，也可以使用泊松方程進行推導：

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}}\right)=-4\pi G\rho }$

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$

最後也可以得到莱恩－埃姆登方程。

${\displaystyle n}$ 只在3個值時有解析解

如果 ${\displaystyle n=0}$，方程式成為：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+1=0}$

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$

公式兩側都除以 ${\displaystyle \xi ^{2}}$，並且再積分一次後得到：

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

邊界條件 ${\displaystyle \theta (0)=1}$ 和 ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ 暗示積分常數是 ${\displaystyle C_{0}=1}$ 和 ${\displaystyle C_{1}=0}$。

當 ${\displaystyle n=1}$，方程式可展開如下：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$

兩端都乘以 ${\displaystyle \xi ^{2}}$ 可得到 ${\displaystyle k=1}$ 和 ${\displaystyle n=0}$ 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$

當 ${\displaystyle n=5}$，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示，例如：

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}}$

在這裡 ${\displaystyle \phi (\xi )}$ 被視為無因次質量，而質量可使用 ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )}$ 表示。相關的邊界條件是 ${\displaystyle \phi (0)=0}$ 和 ${\displaystyle \theta (0)=1}$。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

已知如果 ${\displaystyle \theta (\xi )}$ 是莱恩－埃姆登方程的解，那麼完整的解方程式將是 ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$[1]。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將莱恩－埃姆登方程降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}}$

和

${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}}$

我們可以將相對於 ${\displaystyle \xi }$ 的變數的對數微分，得到：

${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)}$

和

${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)}$.

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 ${\displaystyle \xi }$，留下：

${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)}$

以上即為單一一階方程式。

同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}$

和

${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)}$

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$）和雅可比矩阵的特徵值、特徵向量如下表所示[2]：

臨界點	特徵值		特徵向量
${\displaystyle (0,0)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle (1,0)}$	${\displaystyle (0,1)}$
${\displaystyle (3,0)}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle (1,0)}$	${\displaystyle (-3n,5+5n)}$
${\displaystyle (0,n+1)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3-n}$	${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle (2-n,1+n)}$
${\displaystyle \left({\frac {n-3}{n-1}},2{\frac {n+1}{n-1}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}}$		${\displaystyle \left(1-n\mp \Delta _{n},4+4n\right)}$