連續性方程式
在物理學裏,連續性方程式(英語:)乃是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。由於在各自適當條件下,質量、能量、動量、電荷等等,都是守恆量,很多種傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。
連續性方程式乃是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律比較強版。在本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達同樣的點子──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另外一個位置。
每一種連續性方程式都可以以積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以以微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。應用散度定理,可以從微分形式推導出積分形式,反之亦然。
概論
微分形式
一般的連續性方程式,其微分形式為
- ;
其中, 是某物理量 的密度(物理量每單位體積), 是 的流量密度(物理量每單位面積每單位時間)的向量函數(), 是 的生成量每單位體積每單位時間。
假若 則稱 為「源點」;假若 則稱 為「匯點」。假設 是守恆量,不能夠生成或湮滅(例如,電荷),則 ,連續性方程式變為
- 。
從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式,這方程式可以用來表示任意連續性方程式。這方程式也是平流方程式()的推廣。
其它物理學裏的方程式,像電場的高斯定律或高斯重力定律(),都具有類似連續性方程式的數學形式,但是通常不會稱為連續性方程式,因為 並不代表真實物理量的流動。
積分形式
根據散度定理,連續性方程式可以寫為等價的積分形式:
- ;
其中, 是包住體積 的任意固定(不隨時間改變)閉曲面, 是在體積 內的 總量, 是在積分體積 內源點與匯點的總生成量每單位時間, 是微小面向量積分元素。
舉一簡例,假設 是台北101大樓, 是在大樓內某時間的總人數, 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等,共同組成的曲面,則連續性方程式表明,當人們進入大樓時(代表穿過曲面的內向通量),或當大樓裏面的孕婦生產時(代表源點的 ),在大樓裏面的總人數會增加;而當人們離開大樓時(代表穿過曲面的外向通量),在大樓裏面的總人數會減少。
電磁理論
在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達局域電荷守恆,或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度 的變率與電流密度 的散度,兩者的代數和等於零:
- 。
馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式
- ;
- 。
高斯定律的方程式為
- 。
將這方程式代入,可以得到
- 。
電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。
流體力學
在流體力學裏,連續性方程式表明,在任何穩定態過程中,質量進入物理系統的速率等於離開的速率。[1][2]。連續性方程式類比於電路學的克希荷夫電流定律。「質量連續性方程式」的微分形式為[1]
- ;
其中, 是流體質量密度, 是流速向量場,兩者相乘後為质量通量。
假設流體是不可壓縮流,則密度 是常數,質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式:[1]
- 。
這意味著,在所有位置,速度場的散度等於零;也就是說,局域的體積變率為零。
在另一方面,納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式,描述動量守恆。
能量
根據能量守恆,能量只能夠傳輸,不能夠生成或湮滅,這導致「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律()外,又一種關於能量守恆的數學論述。以方程式表達,
- ;
其中, 是能量密度(能量每單位體積), 是能量通量向量(數值大小為傳輸的能量每單位截面面積每單位時間,方向為截面的法向方向)。
根據傅立葉定律(),對於均勻傳導介質,
- ;
能量連續性方程式又可寫為
- 。
量子力學
在量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 。定義機率流 為
- ;
其中, 是約化普朗克常數, 是質量, 是 是共軛複數, 是取括弧內項目的複值。
參考文獻
- Pedlosky, Joseph. . Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877.
- Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London