葛立恆數

一個將三維立方體的邊，著上紅藍二色的例子。此例中恰存在一個「四頂點共平面且單色的完全子圖」，子圖繪於三維立方體的下方。注意到若將此子圖的下方改成蓝色，則此例將不再含有「四頂點共平面且單色的完全子圖」，也就提供了一個反例，證明${\displaystyle N^{*}}$至少大於3。

葛立恆數與拉姆齊理論有關：考慮一個${\displaystyle n}$維的超立方体，在連結所有頂點後，將形成一個${\displaystyle 2^{n}}$個頂點的完全圖。將這個圖的每條邊填上紅色或藍色。求${\displaystyle n}$的最小值，才使得所有填法中都必定存在一個在同一平面上有四個頂點的單色完全子圖。

在1971年Graham與Rothschild證明了此題之解${\displaystyle N^{*}}$的上下界為${\displaystyle 6\leq N^{*}\leq N}$，其中${\displaystyle N}$是一個極大但明確定義的數字${\displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12)))))))}$，用高德納箭號表示法，${\displaystyle F}$可表示為${\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}$；康威鏈式箭號表示法也可以表示此數的大略範圍，此數介於${\displaystyle 4\rightarrow 2\rightarrow 8\rightarrow 2}$與${\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 9\rightarrow 2}$之間[1]，${\displaystyle N^{*}}$的上界在2014年藉由Hales–Jewett數的上界而降為${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow 8)}$[2]，并于2019年进一步降低为${\displaystyle N''=(2\uparrow \uparrow 5138)\times ((2\uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\times 2\uparrow \uparrow 5137))\ll 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 5138)}$；下界則在2003年由Geoffrey Exoo提高為11[3]，並由Jerome Barkley在2008年進一步的提高為13[4]。因此目前所知最佳的${\displaystyle N^{*}}$上下界為${\displaystyle 13\leq N^{*}\leq N''}$。

葛立恆數${\displaystyle G}$比${\displaystyle N}$大得多，${\displaystyle G}$可表示為${\displaystyle f^{64}(4)}$，其中${\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}$。葛立恆數為此問題的較弱上界，是葛立恆未出版的工作，最後由馬丁·加德納刊登在1977年11月的美國科學人雜誌[5]。

定義函數${\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3=3[n+2]3=3\rightarrow 3\rightarrow n}$（參見高德納箭號表示法、超運算、康威鏈式箭號表示法），則葛立恆數可使用疊代函數表示為${\displaystyle f^{64}(4)}$。

雖然葛立恆數不可以用康威鏈式箭號表示法很方便地表達，但康威鏈式箭號表示法能為它簡單地定上下界：

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<}$葛立恆數${\displaystyle <3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$

使用高德納箭號表示法來表示葛立恆數：

${\displaystyle G=\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{3\uparrow ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot }\cdot }\cdot }3}3}3} _{64{\text{ layers}}}=\left.3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\displaystyle 3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\displaystyle \underbrace {\qquad \vdots \qquad } _{\displaystyle 3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } _{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}}3}3\right\}64{\text{ layers}}}$

利用超運算，葛立恆數G可以表示為：

${\displaystyle \underbrace {3[3[3[\cdots 3[3[3} _{64}[6]3+2]3+2]3\cdots ]3+2]3+2]3}$

其中，${\displaystyle 64}$表示共有64層超運算。從內至外，每一層中的超運算級數由方括號內的那一層所表示的數值決定。 計算G值需要經過64步，首先從最內層開始計算：

${\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=\underbrace {3[4](3[4](3[4]\cdots (3[4](3[4]3} _{3[5]3}))\cdots ))}$

讓：${\displaystyle X=3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4](3[3](3[3]3))=3[4](3[3]27)}$

${\displaystyle =3[4]7625597484987=\underbrace {3[3]3[3]\cdots [3]3} _{7625597484987}=\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7625597484987}}$（迭代冪次）

${\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}$

給定函數：

${\displaystyle f(n)=3[n+2]3}$

例如：${\displaystyle f(1)=3[3]3,\ f(2)=3[4]3}$

${\displaystyle g_{1}=f(4)=3[6]3=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}$

然後計算g₂：

${\displaystyle g_{2}=f^{2}(4)=f(f(4))=3[g_{1}+2]3}$

接著計算：

${\displaystyle g_{3}=f(f^{2}(4))=3[g_{2}+2]3}$

${\displaystyle \vdots \vdots }$

${\displaystyle g_{63}=f(f^{62}(4))=3[g_{62}+2]3}$

最後：

${\displaystyle G=g_{64}=f^{64}(4)=\underbrace {f(f(\cdots f} _{64}(4)\cdots ))=3[g_{63}+2]3}$

一般來說：

${\displaystyle g_{n}=3[g_{n-1}+2]3}$

其中：

${\displaystyle f^{2}(n)=f(f(n)),\ f^{3}(n)=f(f(f(n))),}$ 以此類推。

...

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.

事實上，對於所有正整數${\displaystyle n>500}$，${\displaystyle 3[4]n}$的末500位數也與葛立恆數相同。