虛位移

在分析力學裏，保持時間不變，虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移[1]。

粒子的運動軌道與虛軌道分別為${\displaystyle x(t)}$與${\displaystyle x'(t)}$。在位置${\displaystyle x_{1}}$、時間${\displaystyle t_{1}}$，虛位移為${\displaystyle \delta x}$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為${\displaystyle x_{0}}$與${\displaystyle x_{2}}$。

如右圖，假設一個粒子的運動軌道是${\displaystyle x(t)}$，另外一條不違反約束條件的路徑是${\displaystyle x'(t)}$，則在時間${\displaystyle t_{1}}$，虛位移是${\displaystyle \delta x=x'(t_{1})-x(t_{1})}$。

假設一個位置向量${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$是廣義坐標${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}}$與時間${\displaystyle t}$的函數，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},t)}$，則此位置向量的無窮小位移為

${\displaystyle \operatorname {d} \!\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t+\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\operatorname {d} \!q_{j}}$；

虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$為

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}}$。

物理系統的運動必須符合設定的約束條件，虛位移也必須符合約束條件。例如，假設一個彈珠被約束地只能移動於一個直立的圓圈。它的位置可以用角坐標${\displaystyle \theta }$表示所在地點的角度。如果彈珠是在圓圈的頂端，將彈珠從高度${\displaystyle z}$往上移至高度${\displaystyle z+dz}$是一個會違反約束，唯有可能的虛位移是將彈珠從位置${\displaystyle \theta }$移至${\displaystyle \theta +\delta \theta }$；這裏，${\displaystyle \delta \theta }$可以是正數或負數。

特別注意，虛位移只是空間位移；時間是固定的。雖然某一數值是空間與時間的參數，當計算此數值的虛全微分時，完全不考慮時間的相關性，也就是說${\displaystyle \delta t=0}$。