角平分線定理

角平分線定理（英語：），或稱內分比，斯霍騰定理，是一個幾何學的定理，在三角形ABC中，由A點作一角平分線與BC交於D，那

图中：BD:DC = AB:AC

${\overline {AB}}:{\overline {AC}}={\overline {BD}}:{\overline {DC}}$

角平分線定理是分角定理中 $\angle BAD=\angle DAC$ 的情況， ${\frac {\overline {BD}}{\overline {CD}}}={\frac {{\overline {AB}}\sin \angle BAD}{{\overline {AC}}\sin \angle CAD}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}$

證明

已知AD為 $\triangle ABC$ 的角平分線，且 ${\overline {AD}}$ 交線段 ${\overline {BC}}$ 於 $D$ 點，試證： ${\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}$

面積法

一條經過頂點，並與頂點的兩條鄰邊的夾角相等的一條线段，是三角形的角平分線。

根據角平分線定義，知

\angle BAD=\angle DAC

；過頂點

A

上的高

{\overline {AH}}

△ABD之面積:△ADC之面積=

{\overline {AB}}:{\overline {AC}}

(等高)

又△ABD之面積:△ADC之面積=

{\overline {BD}}:{\overline {DC}}

(同高

{\overline {AH}}

)

故

{\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}

　得證。

參見

角平分線長公式
外角平分線定理

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