计数排序

计数排序
概况
類別	排序算法
資料結構	数组
复杂度
平均時間複雜度
最坏时间复杂度
最优时间复杂度
空間複雜度
相关变量的定义

计数排序（Counting sort）是一种稳定的线性时间排序算法。该算法于1954年由 Harold H. Seward 提出。计数排序使用一个额外的数组 $C$ ，其中第i个元素是待排序数组 $A$ 中值等于 $i$ 的元素的个数。然后根据数组 $C$ 来将 $A$ 中的元素排到正确的位置。

计数排序的特征

当输入的元素是 $n$ 个 $0$ 到 $k$ 之间的整数时，它的运行时间是 $\Theta (n+k)$ 。计数排序不是比较排序，因此不被 $\Omega (n\log n)$ 的下界限制。

由于用来计数的数组 $C$ 的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量时间和内存。例如：计数排序是用来排序0到100之间的数字的最好的算法，但是它不适合按字母顺序排序人名。但是，计数排序可以用在基数排序算法中，能够更有效的排序数据范围很大的数组。

通俗地理解，例如有10个年龄不同的人，统计出有8个人的年龄比A小，那A的年龄就排在第9位，用这个方法可以得到其他每个人的位置，也就排好了序。当然，年龄有重复时需要特殊处理（保证稳定性），这就是为什么最后要反向填充目标数组，以及将每个数字的统计减去1。算法的步骤如下：

找出待排序的数组中最大和最小的元素
统计数组中每个值为 $i$ 的元素出现的次数，存入数组 $C$ 的第 $i$ 项
对所有的计数累加（从 $C$ 中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
反向填充目标数组：将每个元素 $i$ 放在新数组的第 $C[i]$ 项，每放一个元素就将 $C[i]$ 减去1

Java語言的實现

public class CountingSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] A = CountingSort.countingSort(new int[]{16, 4, 10, 14, 7, 9, 3, 2, 8, 1});
        Utils.print(A);
    }

    public static int[] countingSort(int[] A) {
        int[] B = new int[A.length];
        // 假设A中的数据a'有，0<=a' && a' < k并且k=100
        int k = 100;
        countingSort(A, B, k);
        return B;
    }

    private static void countingSort(int[] A, int[] B, int k) {
        int[] C = new int[k];
        // 计数
        for (int j = 0; j < A.length; j++) {
            int a = A[j];
            C[a] += 1;
        }
        Utils.print(C);
        // 求计数和
        for (int i = 1; i < k; i++) {
            C[i] = C[i] + C[i - 1];
        }
        Utils.print(C);
        // 整理
        for (int j = A.length - 1; j >= 0; j--) {
            int a = A[j];
            B[C[a] - 1] = a;
            C[a] -= 1;
        }
    }
}


//针对c数组的大小，优化过的计数排序
public class CountSort{
	public static void main(String []args){
		//排序的数组
		int a[] = {100, 93, 97, 92, 96, 99, 92, 89, 93, 97, 90, 94, 92, 95};
		int b[] = countSort(a);
		for(int i : b){
			System.out.print(i + "  ");
		}
		System.out.println();
	}
	public static int[] countSort(int []a){
		int b[] = new int[a.length];
		int max = a[0], min = a[0];
		for(int i : a){
			if(i > max){
				max = i;
			}
			if(i < min){
				min = i;
			}
		}
		//这里k的大小是要排序的数组中，元素大小的极值差+1
		int k = max - min + 1;
		int c[] = new int[k];
		for(int i = 0; i < a.length; ++i){
			c[a[i]-min] += 1;//优化过的地方，减小了数组c的大小
		}
		for(int i = 1; i < c.length; ++i){
			c[i] = c[i] + c[i-1];
		}
		for(int i = a.length-1; i >= 0; --i){
			b[--c[a[i]-min]] = a[i];//按存取的方式取出c的元素
		}
		return b;
	}
}

C語言的實现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

void print_arr(int *arr, int n) {
	int i;
	printf("%d", arr[0]);
	for (i = 1; i < n; i++)
		printf(" %d", arr[i]);
	printf("\n");
}

void counting_sort(int *ini_arr, int *sorted_arr, int n) {
	int *count_arr = (int *) malloc(sizeof(int) * 100);
	int i, j, k;
	for (k = 0; k < 100; k++)
		count_arr[k] = 0;
	for (i = 0; i < n; i++)
		count_arr[ini_arr[i]]++;
	for (k = 1; k < 100; k++)
		count_arr[k] += count_arr[k - 1];
	for (j = n; j > 0; j--)
		sorted_arr[--count_arr[ini_arr[j - 1]]] = ini_arr[j - 1];
	free(count_arr);
}

int main(int argc, char **argv) {
	int n = 10;
	int i;
	int *arr = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
	int *sorted_arr = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
	srand(time(0));
	for (i = 0; i < n; i++)
		arr[i] = rand() % 100;
	printf("ini_array: ");
	print_arr(arr, n);
	counting_sort(arr, sorted_arr, n);
	printf("sorted_array: ");
	print_arr(sorted_arr, n);
	free(arr);
	free(sorted_arr);
	return 0;
}

javascript实现

Array.prototype.countSort = function() {
  const C = []
  for(let i = 0; i < this.length; i++) {
    const j = this[i]
    C[j] >= 1 ? C[j] ++ : (C[j] = 1)
  }
  const D = []
  for(let j = 0; j < C.length; j++) {
    if(C[j]) {
      while(C[j] > 0) {
        D.push(j)
        C[j]--
      }
    }
  }
  return D
}
const arr = [11, 9, 6, 8, 1, 3, 5, 1, 1, 0, 100]
console.log(arr.countSort())

Golang的实现

  func countingSort(arr []int, minvalue, maxValue int) []int {
      bucketLen := maxValue - minvalue + 1
      bucket := make([]int, bucketLen)
      for _, v := range arr {
          bucket[v-minvalue]++
      }
      result := make([]int, len(arr))
      index := 0
      for k, v := range bucket {
          kk := k + minvalue
          for j := v; j > 0; j-- {
              result[index] = kk
              index++
          }
      }
      return result

  }

注解

参考资料

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. 算法导论，第二版. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. 第8.2章：计数算法, pp. 168–170.
高德纳。计算机程序设计艺术，第三卷：排序和查找，第二版. Addison-Wesley, 1998. ISBN 0-201-89685-0. Section 5.2, Sorting by counting, pp. 75–80.
Seward, Harold H. Information sorting in the application of electronic digital computers to business operations Masters thesis. MIT 1954.
http://www.nist.gov/dads/HTML/countingsort.html 页面存档备份，存于 NIST's Dictionary of Algorithms and Data Structures: counting sort]

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