诺伊曼边界条件

在数学中，诺伊曼边界条件（Neumann boundary condition) 也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。

在常微分方程情况下，如

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

在区间${\displaystyle [0,1]}$ ， 诺伊曼边界条件有如下形式：

${\displaystyle y'(0)=\alpha _{1}}$

${\displaystyle y'(1)=\alpha _{2}}$

其中${\displaystyle \alpha _{1}}$ 和${\displaystyle \alpha _{2}}$ 是给定的数值。

一个区域${\displaystyle \Omega \subset R^{n},}$ 上的偏微分方程，如

${\displaystyle \Delta y+y=0}$

(${\displaystyle \Delta }$ 表示拉普拉斯算子)，诺伊曼边界条件有如下的形式：

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

这里，${\displaystyle \nu }$ 表示边界${\displaystyle \partial \Omega }$ 处(向外的)法向；${\displaystyle f}$ 是给定的函数。法向定义为

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=\nabla y(x)\cdot \nu (x)}$

其中∇是梯度，圆点表示内积。