賭徒謬誤

賭徒謬誤可由重複抛硬幣的例子展示。抛一個公平硬幣，正面朝上的機會是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$，連續兩次抛出正面的機率是${\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$。連續三次抛出正面的機率等於${\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{8}}}$，如此類推。

現在假設，我們已經連續四次抛出正面。犯賭徒謬誤的人說：「如果下一次再抛出正面，就是連續五次。連抛五次正面的機率是${\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{5}={\frac {1}{32}}}$。所以，下一次抛出正面的機會只有${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$。」

以上論證步驟犯了謬誤。假如硬幣公平，定義上拋出反面的機率永遠等於${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$，不會增加或減少，拋出正面的機率同樣永遠等於${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$。連續拋出五次正面的機率等於${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$（0.03125），但這是指未拋出第一次之前。拋出四次正面之後，由於結果已知，在計算時會考慮為${\displaystyle {1}}$，即必然發生。無論硬幣拋出過多少次和結果如何，下一次拋出正面和反面的機率仍然相等。

假定拋出${\displaystyle {n}}$次，擲出正面的概率為${\displaystyle {P(Head)}}$，擲出反面的概率為${\displaystyle {P(Tail)}}$，${\displaystyle {n}}$次後${\displaystyle {P(Head)}={P(Tail)}=1^{n}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$。

實際上，由於每次拋硬幣都是獨立事件，因此計算出${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$機率是把拋硬幣當成連續事件。因為之前拋出了多次正面，而論證今次拋出反面機會較大，屬於謬誤。這種邏輯只在硬幣第一次拋出之前有效，因為這假定的是連續拋出五次正面，即${\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{5}={\frac {1}{32}}}$。

著名的鞅（Martingale）輸後加倍下注系統(又稱雙倍下注)是賭徒謬誤的其中一例。運作方法是賭徒第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則入4元，如此類推，直到贏出為止。若勝出後繼續下注，又以1元開始重新。雙倍下注假定了在連續輸了${\displaystyle n}$局的情形下，賭徒在第${\displaystyle (n+1)}$局會輸的概率非常小。

這種情況可用隨機漫步數學定理解釋。這個系統或類似的系統冒很大的風險來爭取小額的回報。除非有無限的資本，這類策略才可成功。因此，較佳的方法是每次下注固定數額，因為可以較易估計每小時的平均贏輸數額。

• 逆賭徒謬誤：主張機率低的事情發生，一定是已經做了很多次。
• 熱手謬誤：主張由於某件事發生了很多次，因此下次很可能再次發生。

• （英文）The Gambler's Fallacy