贝亚蒂定理

给定 ${\displaystyle r>1}$，使得 ${\displaystyle s=r/(r-1)}$，我们必须要证明任意一个正整数属于且仅属于序列对应的集合 ${\displaystyle B=\{\lfloor nr\rfloor |n\in \mathbb {Z} \}}$ 或者 ${\displaystyle B'=\{\lfloor ns\rfloor |n\in \mathbb {Z} \}}$ 中的一个。

为了证明它，我们可以构建两个不同的没有交集的集合并排成一个有序序列（我们可以通过有序序列的有序性，使得下标和值一一对应），通过构造值和对应下标的一一对应的关系，证明任意一个正整数对应的值属于且仅属于两个集合中的一个，而对应两个集合的下标集合正是 ${\displaystyle B}$ 和 ${\displaystyle B'}$。

我们需要考虑如下：对于正整数 ${\displaystyle j}$ 和 ${\displaystyle k}$ 而言，有分数 ${\displaystyle j \over r}$ 和 ${\displaystyle k \over s}$ 形成的序列。这两个序列对应的的集合没有交集，且容易证明序列本身没有重复元素。

没有交集可以利用反证法，证明两个数 ${\displaystyle j,\ k\in \mathbb {Z} }$，有 ${\displaystyle {j \over r}={k \over s}}$，那么满足：${\displaystyle {j \over k}={r \over s}=r-1}$，因为 ${\displaystyle r}$ 属于无理数，故 ${\displaystyle r-1}$ 也属于无理数，不能被两个有理数的比来进行表示，矛盾故它们形成的集合没有交集。

我们将两个序列组合成一个序列，我们需要证明值 ${\displaystyle j \over r}$ 对应的下标：${\displaystyle i \over r}$ 在 ${\displaystyle j \over r}$ 形成的序列中，前面一共有 ${\displaystyle j}$ 个数（${\displaystyle i}$ 可以取集合 ${\displaystyle \{1,\ 2,\ \ldots ,\ j\}}$ 中的任意一个），在这个子序列中下标为 ${\displaystyle j}$；而在另一个子序列，即 ${\displaystyle k \over s}$ 中前面一共有 ${\displaystyle \lfloor {js \over r}\rfloor }$ 个数（包含本身），即下标为 ${\displaystyle js \over r}$，综上它的下标就为 ${\displaystyle j+lfloor{js \over r}\rfloor =\lfloor {j+j(s-1)}\rfloor =\lfloor {js}\rfloor }$。同理值 ${\displaystyle k \over s}$ 对应的下标就为 ${\displaystyle {kr}}$。

综上这两个没有交集的序列合成的序列下标和值本身是一一对应的，值本身和 ${\displaystyle B}$ 和 ${\displaystyle B'}$ 是对应的，可以证明这是一个划分。