辛群
在數學中,辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中,我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法,通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。
Sp(2n, F)
域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群,記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一,此群是SL(2n,F)的子群。
抽象而言,辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。
當n=1,有Sp(2,F)=SL(2,F),當n>1時,Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。
通常將域F取為實數域、複數域或非阿基米德局部域,如p進數域。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於的連通代數群。是單連通的,而的基本群則同構於。
的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣:
其中表示的轉置矩陣,而是下述反對稱矩陣
Sp(n)
之可逆線性變換。換言之, 即四元數上的酉群。有時此群也被稱為超酉群。 即單位四元數構成之群,拓撲上同胚於三維球 。
並不同構於之前定義的 。下節將解釋其間的聯繫。
其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成
其中 是 的共軛轉置(在此取四元數之共軛運算)。李括積由矩陣之交換子給出。
緊辛群 有时称为酉辛群,记为
辛群之間的關係
以上定義之與之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作。此李代數也就是複李群之李代數,記作。它有兩個不同的實形式:
- 緊緻形式,即之李代數。
- 正規形式,即。
矩陣 | 李群 | dim/R | dim/C | 緊緻 | π1 | |
---|---|---|---|---|---|---|
Sp(2n, R) | R | 實 | n(2n + 1) | – | 否 | Z |
Sp(2n, C) | C | 複 | 2n(2n + 1) | n(2n + 1) | 否 | 1 |
Sp(n) | H | 實 | n(2n + 1) | – | 是 | 1 |
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