连续统
連續統(Continuum)是一個數學概念。當人們籠統地說:「在實數集裡實數可以連續變動」,也就可以說實數集是個連續統;更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對於離散的概念而言的。在不討論精確的定義前,有時人們也會談到一個量可以在某範圍內連續取值,或者說該量的變化範圍是一個連續統。在數學上,連續統這一術語至少有兩種精確定義,但並不等價。另外,連續統一詞有時即指實數線或者實數集,這是較舊的叫法;見連續統假設。
拓撲學
在點集拓撲學中,一個連續統是指任何非空的緊緻連通度量空間(或者非空的緊緻連通豪斯多夫空間,但較少用)。
按照以上定義,一個單點集也是連續統。擁有多於一個點的連續統稱為非退化的連續統;由連通性和豪斯多夫性質,可知它一定含有無窮個點。連續統理論即是拓撲學中研究拓撲連續統的分支。其中一個有趣的問題是不可分解連續統的存在性:
- 是否存在這樣的連續統 C ,它可以寫成兩個連續統的並集,且這兩個都是 C 的真子集?
答案是肯定的,第一個例子由魯伊茲·布勞威爾給出[1]。
參考
- Charles E. Aull, Robert Lowen. . Springer. 2001.
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