迭代法
迭代法(英語:),在计算数学中,迭代是通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题(一般是解方程或者方程组)的数学过程,为实现这一过程所使用的方法统称。
跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题,例如通过开方解决方程。一般如果可能,直接解法总是优先考虑的。但当遇到复杂问题时,特别是在未知量很多,方程为非线性时,我们无法找到直接解法(例如五次以及更高次的代数方程没有解析解,参见阿贝尔定理),这时候或许可以通过迭代法寻求方程(组)的近似解。
最常见的迭代法是牛顿法。其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。
线性系统
求解线性方程系统的迭代方法主要分为两类,分别是定常迭代法和Krylov子空间法。
Krylov子空间法
通过在子空间上最小化余量来得到近似解。Krylov子空间法的原型是是共轭梯度法(CG),其它方法还包括广义最小残量法(GMRES)和双共轭梯度方法(BiCG)。
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