错排问题
错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 个元素的错排数记为或。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉,因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本,如在写信时将封信装到个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送,有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己,所以也是典型的错排问题。
定義
記為上沒有不動點的排列(即)的個數,的值如下:(由起)
- 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... [1]
不難發現,這個數列有一個規律,
。
例如有封收件人不同的信,隨機放入個寫了收件人地址的信封中寄出,求沒有一個收件人收到他所應接收的信的機率。當,設四封信為ABCD,則在個排列之中,只有9個是錯排,即:
- BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA
所以其機率為
。
研究错排问题的方法
枚举法
对于情况较少的排列,可以使用枚举法[3]。
- 当n=1时,全排列只有一种,不是错排,D1 = 0。
- 当n=2时,全排列有两种,即1、2和2、1,后者是错排,D2 = 1。
- 当n=3时,全排列有六种,即1、2、3;1、3、2;2、1、3;2、3、1;3、1、2;3、2、1,其中只有有3、1、2和2、3、1是错排,D3=2。用同样的方法可以知道D4=9。
- 最小的几个错排数是:D1 = 0,D2 = 1,D3=2,D4 = 9,D5 = 44,D6 = 265,D7 = 1854。[4]
递推数列法
对于排列数较多的情况,难以采用枚举法。这时可以用递归思想推导错排数的遞迴關係式。
显然D1=0,D2=1。当n≥3时,不妨设n排在了第k位,其中k≠n,也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑k的情况。
- 当k排在第n位时,除了n和k以外还有n-2个数,其错排数为Dn-2。
- 当k不排在第n位时,那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”,这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排,都等价于只有n-1个数时的错排(只是其中的第k位会换成第n位)。其错排数为Dn-1。
所以当n排在第k位时共有Dn-2+Dn-1种错排方法,又k有从1到n-1共n-1种取法,我们可以得到:
- Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2) [2]
在上面我们得到
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)
从这个公式中我们可以推出Dn的通项公式,方法如下:
为书写方便,记Dn = n!Mn,则M1 = 0, M2 =
当n大于等于3时,由
Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2),
即
。
所以,。
于是有
所以
将上面式子分边累加,得
因此,我们得到错排公式
有人写
多项式模拟
错排,需排在、需排在如此类推。
记,错排结果为中的系数
记为基本对称多项式,
从选出,然后从选出,组成
从选出r个x有种可能,从选出其余的n-r个x有
种可能
简化公式
错位排列数的公式可以简化为:
这个简化公式可以由之前的错排公式推导出来。事实上,考虑指数函数在 0 处的泰勒展开:
所以,。其中 Rn 是泰勒展开的餘项,c 是介于 0 和 1 之间的某个实数。Rn 的绝对值上限为
当 n≥2 时, 严格小于 0.5,所以 是最接近 的整数,可以写成
参考资料
- Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Heinrich Dörrie. . Courier Dover Publications. 1965 (英语).第19-21页
- 卢开澄、卢华明. . 清华大学出版社. ISBN 730213961X (中文(简体)).
- Miodrag Petković. . American Mathematical Soc. 2009. ISBN 9780821848142 (英语).第184-186页
- Branislav Kisačanin. . Springer. 1998. ISBN 9780306459672 (英语).第43-44页