雙積

範疇論中,雙積直積預加法範疇中的推廣,它同時是範疇論意義下的上積

定義

預加法範疇,因而任兩個對象 間的態射集 交換群。給定有限個對象 ,假設有:

  • 對象 ,通常表作
  • 態射 (稱為射影
  • 態射 (稱為內射

並假設:

則稱 雙積

注意到若在定義中取 ,則「空雙積」是一個對象 ,使得恆等映射是零映射。

例子

  • 交換群範疇中存在雙積,此時的雙積即直和。
  • 一個除環上的向量空間也有雙積,即向量空間的直和。

性質

  • 如果空雙積存在,並且所有二元雙積 存在,則所有雙積皆存在。
  • 預加法範疇中的雙積同時是範疇意義下的上積,這是雙積一詞的由來。由此可導得空雙積是零對象
  • 反之,預加法範疇中的積或上積也帶有自然的雙積結構。
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