雙線性形式

如果V是n維向量空間，设${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$是V的一组基。定义${\displaystyle n\times n}$ 阶的矩阵A使得${\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})}$。当${\displaystyle n\times 1}$ 的矩阵x和y表示向量u及v时，双线性形式B可表示为:

${\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }$

考虑另一组基 ${\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$ ，其中S是一个可逆的${\displaystyle n\times n}$ 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在${\displaystyle C'}$下的矩阵${\displaystyle A'}$的形式为：

${\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}$

V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V*的線性函数。 定义${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ ：

${\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}$

常常記作：

${\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}$

這裡的(–)是放变量的位置。

如果 V是有限维空间的话，V和它的雙对偶空間V**是同构的，这时B₂是B₁ 的轉置映射（如果V是无限维空间，B₂限制在V在V**的像下的部分是B₁ 的轉置映射）。 定義B的轉置映射為雙線性形式：

${\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}$

如果 V是有限维空间，B₁ 及B₂ 的秩相等。如果他们的秩等于V的維数的话，B₁ 和 B₂ 就是由V到V*的同构映射（显然B₁是同构当且仅当B₂ 是同构），此时，B是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：B是非退化的当且仅当

${\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}$

雙線性形式 B : V × V → F 是镜像對稱的当且仅当:

${\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}$

有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：

${\displaystyle B(v,w)=0\,}$ 。

一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当${\displaystyle Ax=0\,}$（等价于${\displaystyle x^{T}A=0\,}$），根一般是V的子空间，

当A是非奇异矩阵，即当B是非退化时，根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间，定义${\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}$。

当B是非退化时，映射${\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}$是双射，所以${\displaystyle W^{\perp }}$的维数等于dim(V)-dim(W)。

可以证明，雙線性形式B是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一：

• 對稱的: ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,}$ ${\displaystyle \forall v,w\in V\,}$
• 交替(alternating)的: ${\displaystyle B(v,v)=0\,}$ ${\displaystyle \forall v\in V\,}$

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

B(v+w,v+w)就可看出。

当F的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char(F)=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ 相等，是旋钮对称的当且仅当${\displaystyle B_{1}=-B_{2}}$。char(F) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

${\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}$

其中B* 是B 的转置映射。

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

B: V × W → F.

此時仍有從 V 到 W 的對偶、及從 W 到 V 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對。

由張量積的泛性質，${\displaystyle V}$ 上的雙線性形式一一對映至線性映射 ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}$：若 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle V}$ 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

${\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}$

所有從 ${\displaystyle V\otimes V}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的線性映射構成 ${\displaystyle V\otimes V}$ 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

${\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}$

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S²V* 的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ²V* 的元素。

• 双线性映射
• 多线性映射
• 二次方程式
• 半双线性形式

• PlanetMath上Bilinear form的資料。