双线性映射

设${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$和${\displaystyle X}$是在同一个基础域${\displaystyle F}$上的三个向量空间。双线性映射是函数

${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$

使得对于任何${\displaystyle W}$中${\displaystyle w}$，映射

${\displaystyle v\mapsto B\left(v,w\right)}$

是从${\displaystyle V}$到${\displaystyle X}$的线性映射，并且对于任何${\displaystyle V}$中的${\displaystyle v}$，映射

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

是从${\displaystyle W}$到${\displaystyle X}$的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果${\displaystyle V=W}$并且有${\displaystyle B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)}$对于所有${\displaystyle V}$中的${\displaystyle v,w}$，则我们称${\displaystyle B}$是对称的。

当这里的${\displaystyle X}$是${\displaystyle F}$的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环${\displaystyle R}$上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到${\displaystyle n}$元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环${\displaystyle R}$和右模${\displaystyle M_{R}}$与左模${\displaystyle _{R}N}$的情况，我们可以定义双线性映射${\displaystyle B:M\times N\rightarrow T}$，这里的${\displaystyle T}$是阿贝尔环，使得对于任何${\displaystyle N}$中的${\displaystyle n,m\mapsto B\left(m,n\right)}$是群同态，而对于任何${\displaystyle M}$中的${\displaystyle m,n\mapsto B\left(m,n\right)}$是群同态，并还满足

${\displaystyle B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)}$

对于所有的${\displaystyle M}$中的${\displaystyle m}$，${\displaystyle N}$中${\displaystyle n}$和${\displaystyle R}$中的${\displaystyle t}$。

定义${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$,${\displaystyle X}$是有限维的，则${\displaystyle L\left(V,W;X\right)}$也是有限维的。对于${\displaystyle X=F}$就是双线性形式，这个空间的维度是${\displaystyle \dim V\times \dim W}$（尽管线性形式的空间${\displaystyle L\left(V\times W;K\right)}$的维度是${\displaystyle \dim V+\dim W}$）。看得出来，选择${\displaystyle V}$和${\displaystyle W}$的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵${\displaystyle B(e_{i},f_{j})}$，反之亦然。现在，如果${\displaystyle X}$是更高维的空间，我们明显的有${\displaystyle \dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X}$。

• 矩阵乘法是双线性映射${\displaystyle M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)}$。
• 如果在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$上的向量空间${\displaystyle V}$承载了内积，则内积是双线性映射${\displaystyle V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$。
• 一般的说，对于在域${\displaystyle F}$上的向量空间${\displaystyle V}$，在${\displaystyle V}$上的双线性形式同于双线性映射${\displaystyle V\times V\rightarrow F}$。
• 如果${\displaystyle V}$是有对偶空间${\displaystyle V^{*}}$的向量空间，则应用算子${\displaystyle b(f,v)=f(v)}$是从${\displaystyle V^{*}\times V}$到基础域的双线性映射。
• 设${\displaystyle V}$和${\displaystyle W}$是在同一个基础域${\displaystyle F}$上的向量空间。如果${\displaystyle f}$是${\displaystyle V^{*}}$的成员而${\displaystyle g}$是${\displaystyle W^{*}}$的成员，则${\displaystyle b(v,w)=f(v)g(w)}$定义双线性映射${\displaystyle V\times W\rightarrow F}$。
• 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中叉积是双线性映射${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$。
• 设${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$是双线性映射，而${\displaystyle L:U\rightarrow W}$是线性算子，则${\displaystyle (v,u)\rightarrow B(v,Lu)}$是在${\displaystyle V\times U}$上的双线性映射。
• 零映射，定义于${\displaystyle B(v,w)=o}$对于所有${\displaystyle V\times W}$中的${\displaystyle (v,w)}$，是从${\displaystyle V\times W}$到${\displaystyle X}$的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$，则${\displaystyle B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o}$。

• 张量积
• 多线性映射
• 半双线性形式
• 双线性滤波