齐次函数
例子
- 线性函数是一次齐次函数,因为根据线性的定义,对于所有的和,都有:
- 多线性函数是n次齐次函数,因为根据多线性的定义,对于所有的和都有:
- 从上一个例子中可以看出,两个巴拿赫空间和之间的函数的阶弗雷歇导数是次齐次函数。
- 元单项式定义了齐次函数。
例如:
是10次齐次函数,因为:
- 。
- 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如:
是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。
基本定理
- 欧拉定理:假设函数是可导的,且是次齐次函数。那么:
- 。
这个结果证明如下。记,并把以下等式两端对求导:
利用复合函数求导法则,可得:
- ,
因此:
- 。
以上的方程可以用劈形算符写为:
- ,
当,定理即得证。
- 假设是可导的,且是阶齐次函数。则它的一阶偏导数是阶齐次函数。
这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记,并把以下等式两端对求导:
利用复合函数求导法则,可得:
- ,
因此:
所以
- .
参考文献
- Blatter, Christian. . . Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德语).
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- PlanetMath上Homogeneous function的資料。
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