24点
24点游戏(在香港也稱「合廿四」)是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏,游戏内容是:从一副扑克牌中抽去大小王,在剩下52张中任意抽取4张牌,把牌面上的数(A代表1)运用加、减、乘、除和括号进行运算得出24。每张牌都必须使用一次,但不能重复使用。在不同版本中,对J、Q、和K的处理有些差异。一个常见的版本是把J、Q、和K去除,或当成10;还有一个版本是把J表示11,Q表示12,K代表13。
有些组合有多种算法,例如2,4,6,Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24,如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。
较有难度的24点
虽然大多数24点存在很多解法,有相当一部分数字组合只存在單一的解法。这种组合往往较有难度,也较为有趣。这里总结一些常见的组合。
分数或小数运算
虽然给出4个数字都是整数,中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1,5,5,5,其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24;另外 一个例子是3,3,8,8,其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法,其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为:
数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
---|---|---|---|
2, 4, 10, 10 | (2 + 4 ÷ 10)×10 | 2, 5, 5, 10 | (5 − 2 ÷ 10)×5 |
2, 7, 7, 10 | (2 + 10 ÷ 7)×7 | 3, 3, 7, 7 | (3 + 3 ÷ 7)×7 |
4, 4, 7, 7 | (4 − 4 ÷ 7)×7 | 2, 2, 11, 11 | (2 + 2 ÷ 11)×11 |
2, 2, 13, 13 | (2 − 2 ÷ 13)×13 | 1, 3, 4, 6 | 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4) |
2, 3, 5, 12 | 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2) | 1, 8, 12, 12 | 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) |
大数/奇数运算
大多数组合中,中间步骤只会涉及到一些较小的数字(≤32)。但是有些组合中会涉及到一些较大数字,这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24,5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度,比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下:
数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
---|---|---|---|
1, 3, 9, 10 | (1 + 10)×3 − 9 | 7, 8, 8, 10 | 10×8 − 7×8 |
9, 11, 12, 12 | 11×12 − 9×12 | 1, 2, 7, 7 | (7×7 − 1) ÷ 2 |
3, 8, 8, 10 | (8×10 − 8) ÷ 3 | 4, 8, 8, 11 | (8×11 + 8) ÷ 4 |
5, 10, 10, 13 | (10×13 − 10) ÷ 5 | 1, 5, 11, 11 | (11×11 - 1) ÷ 5 |
1, 6, 11, 13 | (11×13 + 1) ÷ 6 | 1, 7, 13, 13 | (13×13 − 1) ÷ 7 |
计算复杂性排行
下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合,完整的 566 组有解(多组解则取最简单的情况)情况如附录。
数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
---|---|---|---|---|---|
1,3,4,6 | (6/(1-(3/4))) | 1,2,7,7 | (((7*7)-1)/2) | 3,3,7,7 | (((3/7)+3)*7) |
1,4,5,6 | (4/(1-(5/6))) | 3,5,10,10 | (3*(10-(10/5))) | 2,7,7,10 | (((10/7)+2)*7) |
3,3,8,8 | (8/(3-(8/3))) | 3,8,8,10 | (((10*8)-8)/3) | 2,2,7,10 | (((10/2)+7)*2) |
1,6,6,8 | (6/(1-(6/8))) | 4,4,10,10 | (((10*10)-4)/4) | 3,3,6,6 | (3*((6/3)+6)) |
1,4,5,6 | (6/((5/4)-1)) | 1,5,5,5 | ((5-(1/5))*5) | 2,4,10,10 | (10*((4/10)+2)) |
2,5,5,10 | ((5-(2/10))*5) | ||||
4,4,7,7 | ((4-(4/7))*7) |
24点的组合数学
其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间,独立的数字组合数由有重复的组合数给出。:
- 。
譬如,如果最大的牌面数值为10,那么独立的数字组合为715个,远比10000要小;如果最大的牌面数值为13,那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。
可以用枚举证明,如果最大牌面数值为10,在715个组合中,有149个组合是没有解的。此外,如果我们随机的取4个1-10之间的数字,无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13,则会有458个组合无解(总数为1820)。
推广
24点游戏可以被推广到多张牌(n>4)的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的,也就是说,每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下,有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低,一共为如下37种。如果最大数值为13,则无解的总数扩大为80。
1 1 1 1 2 | 1 1 1 1 3 | 1 1 1 1 4 | 1 1 1 1 5 | 1 1 1 2 2 | 1 1 1 2 3 |
1 1 1 9 9 | 1 1 1 9 10 | 1 1 1 10 10 | 1 1 2 2 2 | 1 1 6 7 7 | 1 1 7 7 7 |
1 1 9 9 9 | 1 1 9 9 10 | 1 1 10 10 10 | 1 5 9 9 9 | 1 6 7 7 7 | 1 7 7 7 7 |
1 7 9 9 9 | 1 8 9 9 10 | 1 8 9 10 10 | 1 9 9 9 9 | 1 9 9 9 10 | 1 9 9 10 10 |
1 9 10 10 10 | 1 10 10 10 10 | 2 9 9 9 9 | 3 5 5 5 5 | 4 9 9 9 9 | 6 7 7 7 7 |
6 10 10 10 10 | 8 9 9 9 10 | 8 9 9 10 10 | 9 9 9 9 10 | 9 9 9 10 10 | 9 9 10 10 10 |
9 10 10 10 10 | |||||
注意到,以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合,比如,5个1,这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。
在6张牌的情况下,4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的:1 1 1 1 2 2,9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下,所有组合方式(10890种)都有解。
附录
這游戏 566 组有解(多解法,則取最简单的解法)的完整清单。
1. 1 1 1 8 ((1+(1+1))*8) 2. 1 1 2 6 ((1+(1+2))*6) 3. 1 1 2 7 ((1+2)*(1+7)) 4. 1 1 2 8 (((1/1)+2)*8) 5. 1 1 2 9 ((1+2)*(9-1)) 6. 1 1 210 ((10+2)*(1+1)) 7. 1 1 3 4 (4*((1+1)*3)) 8. 1 1 3 5 ((1+3)*(1+5)) 9. 1 1 3 6 (3*((1+1)+6)) 10. 1 1 3 7 (3*((1/1)+7)) 11. 1 1 3 8 ((1-1)+(3*8)) 12. 1 1 3 9 ((3+9)*(1+1)) 13. 1 1 310 (3*(10-(1+1))) 14. 1 1 4 4 (4*((1+1)+4)) 15. 1 1 4 5 (4*((1/1)+5)) 16. 1 1 4 6 ((1-1)+(4*6)) 17. 1 1 4 7 ((4-1)*(1+7)) 18. 1 1 4 8 ((4+8)*(1+1)) 19. 1 1 4 9 ((1-4)*(1-9)) 20. 1 1 410 ((10*(1+1))+4) 21. 1 1 5 5 ((5-1)*(1+5)) 22. 1 1 5 6 ((5-(1/1))*6) 23. 1 1 5 7 ((5+7)*(1+1)) 24. 1 1 5 8 ((5-(1+1))*8) 25. 1 1 6 6 ((6+6)*(1+1)) 26. 1 1 6 8 ((6/(1+1))*8) 27. 1 1 6 9 (((1+1)*9)+6) 28. 1 1 710 (10+((1+1)*7)) 29. 1 1 8 8 (((1+1)*8)+8) 30. 1 2 2 4 ((1+2)*(2*4)) 31. 1 2 2 5 ((2+2)*(1+5)) 32. 1 2 2 6 ((1+2)*(2+6)) 33. 1 2 2 7 ((2+2)*(7-1)) 34. 1 2 2 8 (((2-1)+2)*8) 35. 1 2 2 9 ((1+(2+9))*2) 36. 1 2 210 (2+((1+10)*2)) 37. 1 2 3 3 ((1+3)*(2*3)) 38. 1 2 3 4 (4*((1+2)+3)) 39. 1 2 3 5 ((1+2)*(3+5)) 40. 1 2 3 6 ((2+(3-1))*6) 41. 1 2 3 7 ((3*7)+(1+2)) 42. 1 2 3 8 ((1+(3+8))*2) 43. 1 2 3 9 (3*((1-2)+9)) 44. 1 2 310 ((1+(10*2))+3) 45. 1 2 4 4 ((1+2)*(4+4)) 46. 1 2 4 5 (4*((2-1)+5)) 47. 1 2 4 6 ((4-1)*(2+6)) 48. 1 2 4 7 ((1+(4+7))*2) 49. 1 2 4 8 ((1+(4-2))*8) 50. 1 2 4 9 (((1+9)*2)+4) 51. 1 2 410 ((1-4)*(2-10)) 52. 1 2 5 5 ((1-2)+(5*5)) 53. 1 2 5 6 ((1+(5+6))*2) 54. 1 2 5 7 ((5-2)*(1+7)) 55. 1 2 5 8 ((5+(8-1))*2) 56. 1 2 5 9 ((1+(2*9))+5) 57. 1 2 510 ((10*2)+(5-1)) 58. 1 2 6 6 (((1+2)*6)+6) 59. 1 2 6 7 ((6+(7-1))*2) 60. 1 2 6 8 ((2*(1+8))+6) 61. 1 2 6 9 (1*((2*9)+6)) 62. 1 2 610 (10+(2*(1+6))) 63. 1 2 7 7 (((7*7)-1)/2) 64. 1 2 7 8 ((1+(2*8))+7) 65. 1 2 7 9 ((1+(2*7))+9) 66. 1 2 710 (10+((1*2)*7)) 67. 1 2 8 8 (1*((2*8)+8)) 68. 1 2 8 9 ((2*8)+(9-1)) 69. 1 2 810 (10+(2*(8-1))) 70. 1 3 3 3 ((1+3)*(3+3)) 71. 1 3 3 4 (3*((1+3)+4)) 72. 1 3 3 5 ((5-1)*(3+3)) 73. 1 3 3 6 ((3*(1+6))+3) 74. 1 3 3 7 (1*((3*7)+3)) 75. 1 3 3 8 ((3*(1+8))-3) 76. 1 3 3 9 ((1+3)*(9-3)) 77. 1 3 310 (3*((1-3)+10)) 78. 1 3 4 4 (4*((3-1)+4)) 79. 1 3 4 5 ((4*5)+(1+3)) 80. 1 3 4 6 (6/(1-(3/4))) 81. 1 3 4 7 ((3*7)+(4-1)) 82. 1 3 4 8 ((4*(1+3))+8) 83. 1 3 4 9 ((3*(1+4))+9) 84. 1 3 410 ((1+3)*(10-4)) 85. 1 3 5 6 ((1+(3*6))+5) 86. 1 3 5 7 ((7-3)*(1+5)) 87. 1 3 5 8 ((1+(3*5))+8) 88. 1 3 5 9 ((1-5)*(3-9)) 89. 1 3 510 (10+((3*5)-1)) 90. 1 3 6 6 ((1+(6-3))*6) 91. 1 3 6 7 ((6-3)*(1+7)) 92. 1 3 6 8 ((8-(1+3))*6) 93. 1 3 6 9 ((3*(6-1))+9) 94. 1 3 610 (1*((10*3)-6)) 95. 1 3 7 7 ((3-7)*(1-7)) 96. 1 3 7 8 ((7-(1+3))*8) 97. 1 3 7 9 ((9/3)*(1+7)) 98. 1 3 710 ((1+(10*3))-7) 99. 1 3 8 8 (((1+3)*8)-8) 100. 1 3 8 9 ((1/3)*(8*9)) 101. 1 3 810 ((8/3)*(10-1)) 102. 1 3 9 9 ((9/3)*(9-1)) 103. 1 3 910 (((1+10)*3)-9) 104. 1 31010 ((10+10)+(1+3)) 105. 1 4 4 4 ((4*(1+4))+4) 106. 1 4 4 5 (1*((4*5)+4)) 107. 1 4 4 6 ((4*(1+6))-4) 108. 1 4 4 7 ((1+(4*4))+7) 109. 1 4 4 8 ((4*(8-1))-4) 110. 1 4 4 9 (4*((1-4)+9)) 111. 1 4 410 ((1*4)*(10-4)) 112. 1 4 5 5 ((4*5)+(5-1)) 113. 1 4 5 6 (6/((5/4)-1)) 114. 1 4 5 7 ((1+(4*7))-5) 115. 1 4 5 8 ((8-4)*(1+5)) 116. 1 4 5 9 (((4-1)*5)+9) 117. 1 4 510 (4*((1-5)+10)) 118. 1 4 6 6 (((1+4)*6)-6) 119. 1 4 6 7 ((1+(7-4))*6) 120. 1 4 6 8 ((1+(6-4))*8) 121. 1 4 6 9 ((9-(1+4))*6) 122. 1 4 610 ((10*(4-1))-6) 123. 1 4 7 7 ((7-4)*(1+7)) 124. 1 4 7 8 ((4*(1+7))-8) 125. 1 4 7 9 ((4-7)*(1-9)) 126. 1 4 8 8 ((8-(1+4))*8) 127. 1 4 8 9 ((1+(4*8))-9) 128. 1 4 910 (10+((1+4)+9)) 129. 1 41010 (1*((10+10)+4)) 130. 1 5 5 5 ((5-(1/5))*5) 131. 1 5 5 6 ((5*(1+5))-6) 132. 1 5 5 9 ((9-5)*(1+5)) 133. 1 5 510 ((5*(10-5))-1) 134. 1 5 6 6 (1*((5*6)-6)) 135. 1 5 6 7 ((1+(5*6))-7) 136. 1 5 6 8 ((1+(8-5))*6) 137. 1 5 6 9 (1*((9-5)*6)) 138. 1 5 610 ((10-6)*(1+5)) 139. 1 5 7 8 ((1+(7-5))*8) 140. 1 5 7 9 ((5-9)*(1-7)) 141. 1 5 710 ((5*7)-(1+10)) 142. 1 5 8 8 (((5-1)*8)-8) 143. 1 5 8 9 ((9-(1+5))*8) 144. 1 5 810 (10+((1+5)+8)) 145. 1 5 9 9 ((9+9)+(1+5)) 146. 1 5 910 (1*((10+9)+5)) 147. 1 51010 ((10+10)+(5-1)) 148. 1 6 6 6 (((6-1)*6)-6) 149. 1 6 6 8 (6/(1-(6/8))) 150. 1 6 6 9 ((1+(9-6))*6) 151. 1 6 610 (1*((10-6)*6)) 152. 1 6 7 9 ((9-6)*(1+7)) 153. 1 6 710 (10+((1+6)+7)) 154. 1 6 8 8 ((1+(8-6))*8) 155. 1 6 8 9 ((8+9)+(1+6)) 156. 1 6 810 (1*((10+8)+6)) 157. 1 6 9 9 (1*((6+9)+9)) 158. 1 6 910 (10+((6-1)+9)) 159. 1 7 7 9 ((7+(1+7))+9) 160. 1 7 710 (1*((10+7)+7)) 161. 1 7 8 8 ((8+8)+(1+7)) 162. 1 7 8 9 (1*((7+8)+9)) 163. 1 7 810 (10+((7-1)+8)) 164. 1 7 9 9 ((9+9)+(7-1)) 165. 1 7 910 ((7-10)*(1-9)) 166. 1 8 8 8 (1*((8+8)+8)) 167. 1 8 8 9 ((8+9)+(8-1)) 168. 1 8 810 ((1+(10-8))*8) |
169. 2 2 2 3 ((2+2)*(2*3)) 170. 2 2 2 4 ((2+2)*(2+4)) 171. 2 2 2 5 (((2*5)+2)*2) 172. 2 2 2 7 (((2*7)-2)*2) 173. 2 2 2 8 (((2+2)+8)*2) 174. 2 2 2 9 (2+((2+9)*2)) 175. 2 2 210 ((10*2)+(2+2)) 176. 2 2 3 3 ((2+2)*(3+3)) 177. 2 2 3 4 (3*((2+2)+4)) 178. 2 2 3 5 (3*((2*5)-2)) 179. 2 2 3 6 (((2/2)+3)*6) 180. 2 2 3 7 ((3+(2+7))*2) 181. 2 2 3 8 ((2-2)+(3*8)) 182. 2 2 3 9 ((2+2)*(9-3)) 183. 2 2 310 (((10+3)*2)-2) 184. 2 2 4 4 ((4+(2*4))*2) 185. 2 2 4 5 ((4*5)+(2+2)) 186. 2 2 4 6 ((2-2)+(4*6)) 187. 2 2 4 7 (2+((4+7)*2)) 188. 2 2 4 8 ((4*(2+2))+8) 189. 2 2 4 9 (2+((2*9)+4)) 190. 2 2 410 ((2+2)*(10-4)) 191. 2 2 5 5 ((5+(2+5))*2) 192. 2 2 5 6 (2+((5+6)*2)) 193. 2 2 5 7 ((2*5)+(2*7)) 194. 2 2 5 8 (((5+8)*2)-2) 195. 2 2 5 9 ((5+(9-2))*2) 196. 2 2 510 (10+(2*(2+5))) 197. 2 2 6 6 ((2*6)+(2*6)) 198. 2 2 6 7 ((2*(2+7))+6) 199. 2 2 6 8 ((2*(2+6))+8) 200. 2 2 6 9 (((2*9)-6)*2) 201. 2 2 610 (10+((2*6)+2)) 202. 2 2 7 7 (((7-2)+7)*2) 203. 2 2 7 8 (2+((2*7)+8)) 204. 2 2 710 (((10/2)+7)*2) 205. 2 2 8 8 (((2+2)*8)-8) 206. 2 2 8 9 ((2*9)+(8-2)) 207. 2 2 810 (10+((2*8)-2)) 208. 2 2 910 (10+(2*(9-2))) 209. 2 21010 ((10+10)+(2+2)) 210. 2 3 3 3 (3*(3+(2+3))) 211. 2 3 3 5 ((3*(2+5))+3) 212. 2 3 3 6 ((3+(3+6))*2) 213. 2 3 3 7 ((3*(2+7))-3) 214. 2 3 3 8 (((3/3)+2)*8) 215. 2 3 3 9 ((3*(2+3))+9) 216. 2 3 310 ((10*3)-(2*3)) 217. 2 3 4 4 ((4*(2+3))+4) 218. 2 3 4 5 ((5+(3+4))*2) 219. 2 3 4 6 (2+((3*6)+4)) 220. 2 3 4 7 (((3+7)*2)+4) 221. 2 3 4 8 (((2-3)+4)*8) 222. 2 3 4 9 ((3+9)*(4-2)) 223. 2 3 410 (10+((3*4)+2)) 224. 2 3 5 5 ((2-3)+(5*5)) 225. 2 3 5 6 ((2+(5-3))*6) 226. 2 3 5 7 (2+((3*5)+7)) 227. 2 3 5 8 ((2*(3+5))+8) 228. 2 3 5 9 ((2+(3*9))-5) 229. 2 3 510 ((10+(5-3))*2) 230. 2 3 6 6 ((2*(3+6))+6) 231. 2 3 6 7 (3*((2*7)-6)) 232. 2 3 6 8 ((3*6)+(8-2)) 233. 2 3 6 9 ((2*6)+(3+9)) 234. 2 3 610 ((3-6)*(2-10)) 235. 2 3 7 7 ((3+7)+(2*7)) 236. 2 3 7 8 (((7-3)+8)*2) 237. 2 3 7 9 ((3*(7-2))+9) 238. 2 3 710 ((10*2)+(7-3)) 239. 2 3 8 8 ((8-(2+3))*8) 240. 2 3 8 9 ((9-(2*3))*8) 241. 2 3 810 (10+((2*3)+8)) 242. 2 3 9 9 ((9+9)+(2*3)) 243. 2 3 910 (10+((2+3)+9)) 244. 2 31010 (10+(2*(10-3))) 245. 2 4 4 4 ((4+(4+4))*2) 246. 2 4 4 5 ((4*(2+5))-4) 247. 2 4 4 6 (2+((4*4)+6)) 248. 2 4 4 7 ((4*(7-2))+4) 249. 2 4 4 8 ((2*(4+4))+8) 250. 2 4 4 9 ((4*(9-2))-4) 251. 2 4 410 ((10*(4-2))+4) 252. 2 4 5 5 (((5+5)*2)+4) 253. 2 4 5 6 ((2*(4+5))+6) 254. 2 4 5 7 ((5+7)*(4-2)) 255. 2 4 5 8 (((2-4)+5)*8) 256. 2 4 5 9 ((9-5)*(2+4)) 257. 2 4 510 (10+((2*5)+4)) 258. 2 4 6 6 ((2+(6-4))*6) 259. 2 4 6 7 ((4+6)+(2*7)) 260. 2 4 6 8 ((2*6)+(4+8)) 261. 2 4 6 9 (((4-2)*9)+6) 262. 2 4 610 ((10+6)+(2*4)) 263. 2 4 7 7 (((7+7)*2)-4) 264. 2 4 7 8 (4*((2*7)-8)) 265. 2 4 7 9 ((7+(2*4))+9) 266. 2 4 710 (10+((4-2)*7)) 267. 2 4 8 8 ((8+8)+(2*4)) 268. 2 4 8 9 ((9-(2+4))*8) 269. 2 4 810 (10+((2+4)+8)) 270. 2 4 9 9 ((9+9)+(2+4)) 271. 2 4 910 (10+((2*9)-4)) 272. 2 41010 (10*((4/10)+2)) 273. 2 5 5 7 ((5+5)+(2*7)) 274. 2 5 5 8 (((5/5)+2)*8) 275. 2 5 5 9 ((2*5)+(5+9)) 276. 2 5 510 ((5-(2/10))*5) 277. 2 5 6 6 (((5-2)*6)+6) 278. 2 5 6 7 ((2*6)+(5+7)) 279. 2 5 6 8 ((2*5)+(6+8)) 280. 2 5 6 9 (((5/2)*6)+9) 281. 2 5 610 (((10+5)*2)-6) 282. 2 5 7 7 ((2*5)+(7+7)) 283. 2 5 7 8 (((2*5)-7)*8) 284. 2 5 7 9 ((5*7)-(2+9)) 285. 2 5 710 (10+((2+5)+7)) 286. 2 5 8 8 ((5*8)-(2*8)) 287. 2 5 8 9 ((8+9)+(2+5)) 288. 2 5 810 ((10-(2+5))*8) 289. 2 5 910 ((10*2)+(9-5)) 290. 2 51010 (10*((10+2)/5)) 291. 2 6 6 6 ((2*6)+(6+6)) 292. 2 6 6 7 (((7-2)*6)-6) 293. 2 6 6 8 (((6/6)+2)*8) 294. 2 6 6 9 ((9-6)*(2+6)) 295. 2 6 610 ((10+6)+(2+6)) 296. 2 6 7 8 (((2-6)+7)*8) 297. 2 6 7 9 ((7+(2+6))+9) 298. 2 6 710 ((10-7)*(2+6)) 299. 2 6 8 8 ((8+8)+(2+6)) 300. 2 6 8 9 (((2*6)-9)*8) 301. 2 6 810 ((10+(8-6))*2) 302. 2 6 9 9 (((9-6)+9)*2) 303. 2 6 910 ((6-9)*(2-10)) 304. 2 61010 ((10+10)+(6-2)) 305. 2 7 7 8 ((7+(2+7))+8) 306. 2 7 710 (((10/7)+2)*7) 307. 2 7 8 8 (((2-7)+8)*8) 308. 2 7 8 9 (((7+9)*2)-8) 309. 2 7 910 (10+((7-2)+9)) 310. 2 71010 (((10+7)*2)-10) 311. 2 8 8 8 (((8/8)+2)*8) 312. 2 8 8 9 (((2-8)+9)*8) 313. 2 8 810 (10+((8-2)+8)) 314. 2 8 9 9 ((9+9)+(8-2)) 315. 2 8 910 (((8+9)*2)-10) 316. 2 81010 (((10/10)+2)*8) 317. 2 91010 (10+((10/2)+9)) 318. 3 3 3 3 ((3*(3*3))-3) 319. 3 3 3 4 ((3*(3+4))+3) 320. 3 3 3 5 ((3*5)+(3*3)) 321. 3 3 3 6 ((3*(3+3))+6) 322. 3 3 3 7 (3*((3/3)+7)) 323. 3 3 3 8 (3*((3-3)+8)) 324. 3 3 3 9 (3*(9-(3/3))) 325. 3 3 310 ((3*(10-3))+3) 326. 3 3 4 4 ((3*4)+(3*4)) 327. 3 3 4 5 (4*((3/3)+5)) 328. 3 3 4 6 ((3-3)+(4*6)) 329. 3 3 4 7 (3*((4-3)+7)) 330. 3 3 4 8 ((8-4)*(3+3)) 331. 3 3 4 9 ((3*4)+(3+9)) 332. 3 3 5 5 ((5*5)-(3/3)) 333. 3 3 5 6 ((3*5)+(3+6)) 334. 3 3 5 7 (3*((3*5)-7)) 335. 3 3 5 9 ((9-5)*(3+3)) 336. 3 3 510 ((10+5)+(3*3)) |
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505. 5 5 7 7 ((5+5)+(7+7)) 506. 5 5 7 8 ((7-8)+(5*5)) 507. 5 5 710 (10*((5+7)/5)) 508. 5 5 8 8 ((5*5)-(8/8)) 509. 5 5 8 9 ((8-9)+(5*5)) 510. 5 5 810 ((8/5)*(10+5)) 511. 5 5 9 9 ((5*5)-(9/9)) 512. 5 5 910 ((9-10)+(5*5)) 513. 5 51010 ((5*5)-(10/10)) 514. 5 6 6 6 ((5-(6/6))*6) 515. 5 6 6 7 ((5+6)+(6+7)) 516. 5 6 6 8 (((8-5)*6)+6) 517. 5 6 6 9 ((6*9)-(5*6)) 518. 5 6 610 (((10-5)*6)-6) 519. 5 6 7 7 ((5-(7/7))*6) 520. 5 6 7 8 ((5+7)*(8-6)) 521. 5 6 7 9 (((7-5)*9)+6) 522. 5 6 8 8 ((5-(8/8))*6) 523. 5 6 8 9 (((5+8)-9)*6) 524. 5 6 810 ((5*8)-(10+6)) 525. 5 6 9 9 ((5-(9/9))*6) 526. 5 6 910 (((5+9)-10)*6) 527. 5 61010 ((5-(10/10))*6) 528. 5 7 7 9 ((5+7)*(9-7)) 529. 5 7 710 (10+((7-5)*7)) 530. 5 7 8 8 (((7-5)*8)+8) 531. 5 7 8 9 ((5*8)-(7+9)) 532. 5 7 810 ((5+7)*(10-8)) 533. 5 7 910 (((10-7)*5)+9) 534. 5 71010 (10+((7/5)*10)) 535. 5 8 8 8 ((5*8)-(8+8)) 536. 5 8 8 9 (((9-5)*8)-8) 537. 5 8 810 (((5+8)-10)*8) 538. 5 91010 ((10+10)+(9-5)) 539. 6 6 6 6 ((6+6)+(6+6)) 540. 6 6 6 8 ((6+6)*(8-6)) 541. 6 6 6 9 (((9-6)*6)+6) 542. 6 6 610 ((10*6)-(6*6)) 543. 6 6 7 9 ((6+6)*(9-7)) 544. 6 6 710 (((10-7)*6)+6) 545. 6 6 8 8 ((6/(8-6))*8) 546. 6 6 8 9 (((6+6)-9)*8) 547. 6 6 810 ((6+6)*(10-8)) 548. 6 6 910 ((10*(9-6))-6) 549. 6 7 710 (((7+7)-10)*6) 550. 6 7 8 9 ((8/(9-7))*6) 551. 6 7 810 ((6*7)-(10+8)) 552. 6 7 9 9 ((6*7)-(9+9)) 553. 6 71010 ((10*(10-7))-6) 554. 6 8 8 8 (((8-6)*8)+8) 555. 6 8 8 9 ((8*9)-(6*8)) 556. 6 8 810 (((10-6)*8)-8) 557. 6 8 9 9 ((8/6)*(9+9)) 558. 6 8 910 (((10-8)*9)+6) 559. 6 9 910 (((9/6)*10)+9) 560. 6101010 ((10+10)+(10-6) 561. 7 7 910 (10+((9-7)*7)) 562. 7 8 8 9 (((9-7)*8)+8) 563. 7 8 810 ((10*8)-(7*8)) 564. 7 8 910 ((9/(10-7))*8) 565. 7 81010 (10+((10-8)*7)) 566. 8 8 810 (((10-8)*8)+8) |
參見
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