K-d树

计算机科学里,k-d树k-维的缩写)是在k欧几里德空间组织的数据结构。k-d树可以使用在多种应用场合,如多维键值搜索(例:范围搜寻及最邻近搜索)。k-d树是空间二分树(Binary space partitioning)的一种特殊情况。

一个三维k-d树。第一次划分(红色)把根节点(白色)划分成两个节点,然后它们分别再次被划分(绿色)为两个子节点。最后这四个子节点的每一个都被划分(蓝色)为两个子节点。因为没有更进一步的划分,最后得到的八个节点称为叶子节点。

简介

k-d树是每个叶子节点都为k维点的二叉树。所有非叶子节点可以视作用一个超平面把空间分割成两个半空间。节点左边的子树代表在超平面左边的点,节点右边的子树代表在超平面右边的点。选择超平面的方法如下:每个节点都与k维中垂直于超平面的那一维有关。因此,如果选择按照x轴划分,所有x值小于指定值的节点都会出现在左子树,所有x值大于指定值的节点都会出现在右子树。这样,超平面可以用该x值来确定,其法線为x轴的单位向量

k-d树的运算

建立k-d树

有很多种方法可以选择轴垂直分割面( axis-aligned splitting planes ),所以有很多种建立k-d树的方法。 最典型的方法如下:

  • 随着树的深度轮流选择轴当作分割面。(例如:在三维空间中根节点是 x 轴垂直分割面,其子节点皆为 y 轴垂直分割面,其孙节点皆为 z 轴垂直分割面,其曾孙节点则皆为 x 轴垂直分割面,依此类推。)
  • 点由垂直分割面之軸座標的中位数区分并放入子树

這個方法產生一個平衡的k-d樹。每個葉節點的高度都十分接近。然而,平衡的樹不一定對每個應用都是最佳的。

function kdtree (list of points pointList, int depth)
{
    // Select axis based on depth so that axis cycles through all valid values
    var int axis := depth mod k;
        
    // Sort point list and choose median as pivot element
    select median by axis from pointList;
        
    // Create node and construct subtrees
    var tree_node node;
    node.location := median;
    node.leftChild := kdtree(points in pointList before median, depth+1);
    node.rightChild := kdtree(points in pointList after median, depth+1);
    return node;
}

平衡

在动态插入删除点且不允许预处理插入操作的情况下,一种平衡的方法是使用类似替罪羊树的方法重构整棵树。

最鄰近搜索

最鄰近搜索用來找出在樹中與輸入點最接近的點。

k-d樹最鄰近搜索的過程如下:

  1. 從根節點開始,遞迴的往下移。往左還是往右的決定方法與插入元素的方法一樣(如果输入点在分区面的左邊則進入左子節點,在右邊則進入右子節點)。
  2. 一旦移動到葉節點,將該節點當作"目前最佳點"。
  3. 解開遞迴,並對每個經過的節點執行下列步驟:
    1. 如果目前所在點比目前最佳點更靠近輸入點,則將其變為目前最佳點。
    2. 檢查另一邊子樹有沒有更近的點,如果有則從該節點往下找
  4. 當根節點搜尋完畢後完成最鄰近搜尋


处理高维数据

维数灾难让大部分的搜索算法在高维情况下都显得花俏且不实用。 同样的,在高维空间中,k-d树也不能做很高效的最邻近搜索。一般的准则是:在k维情况下,数据点数目N应当远远大于时,k-d树的最邻近搜索才可以很好的发挥其作用。不然的话,大部分的点都会被查询,最终算法效率也不会比全体查询一遍要好到哪里去。另外,如果只是需要一个足够快,且不必最优的结果,那么可以考虑使用近似邻近查询的方法。

外部链接

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