三尖瓣线

三尖瓣线可以用以下的參數方程表示：

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

其中a是小圓的半徑，b是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處b = 3a）。

在複變座標下可得

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

上述的t可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

曲線有三個奇點，是對應${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其幾何虧格為零。

三尖瓣线的對偶曲線為

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉y ↦ iy，曲線會變為下式，就可以看到其二重點

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

在實平面的原點上有二重點。

三尖瓣线的面積為${\displaystyle 2\pi a^{2}}$，其中a為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍[2]。

其周長為16a[2]。

早在1599年時，伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已開始研究常見的摆线，而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到摆线。李昂哈德·歐拉認為他是最早（1745年）將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。

三尖瓣线有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

• 三維unistochastic矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。
• SU(3)群裡所有酉矩阵的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
• 二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的複數Hadamard矩陣。
• 三角形的所有西姆松線的集合，其包絡線會是三尖瓣线。因為Jakob Steiner在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為Steiner三尖瓣线，[3]。
• 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线，三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧[4][5]。
• 三尖瓣线屬於掛谷集中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

• 星形线：有三個尖點的圆内螺线
• 伪三角形
• 勒洛三角形
• 超橢圓

• E. H. Lockwood. . . Cambridge University Press. 1961.
• J. Dennis Lawrence. . Dover Publications. 1972: 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
• Wells D. . New York: Penguin Books. 1991: 52. ISBN 0-14-011813-6.
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index页面存档备份，存于
• "Deltoid" at MathCurve页面存档备份，存于
• Sokolov, D.D., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4