双曲线
在数学中,双曲线(英語:;希臘語:,意思是超过、超出)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(称为焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是的两倍,这里的是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上,它们的中间点称为中心。
从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
使得,这裡的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对的多于一个的解。
注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。
- 等轴双曲线:双曲线的实轴与虚轴长相等,即且,此时渐近线方程为(无论焦点在轴还是轴)。
- 共轭双曲线:双曲线的实轴是双曲线的虚轴且双曲线的虚轴是双曲线的实轴时,称双曲线与双曲线为共轭双曲线。
- 几何表达:
- 特点:
- 共渐近线,与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
- 焦距相等。
- 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于。
- 单位双曲线:属于等轴双曲线,且半实轴和半虚轴的长均为,即。
- 满足方程:或。
定义
上面已经列出:
双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大,双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点,并对于东西开口的双曲线有斜率,对于北南开口的双曲线有斜率。
双曲线有个性质,出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。
双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线,它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程给出,这裡的是常数。
如果对双曲线方程交换和,得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。
笛卡尔坐标
中心位于的左右开口的双曲线:
中心位于的上下开口的双曲线:
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点(拐点)。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。
在两个公式中,是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而是半虚轴。
如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是,平行于实轴的两边的长度是,注意可以大于。
如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是。
离心率给出自:
左右开口的双曲线的焦点是:,其中c给出自。
上下开口的双曲线的焦点是:,其中c给出自。
对于以直线和直线为渐近线的直角双曲线:
这种双曲线最简单的例子是:
极坐标
左右开口的双曲线:
上下开口的双曲线:
上右下左开口的双曲线:
上左下右开口的双曲线:
在所有公式中,中心在极点,而是半实轴和半虚轴。
双曲线的标准方程
焦点在轴:
焦点在轴:
双曲线的渐近线方程
焦線平行於轴:
焦線平行於轴:
圆锥曲线方程
当时,表示双曲线。其中为焦点到准线距离,为弦与轴夹角。