不完全驅動

為了要瞭解造成不完全驅動的數學條件，需要探討該系統的力學方程。牛顿运动定律指出力學系統的動態本質上是二階的。一般而言，動態方程可以描述為二階微分方程：

${\displaystyle {\ddot {q}}=f(q,{\dot {q}},u,t)}$

其中：

${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n}}$是位置狀態向量
${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$是控制輸入向量
${\displaystyle t}$是時間

許多系統的動態方程也可以改寫為控制輸入的仿射：

${\displaystyle {\ddot {q}}=f_{1}(q,{\dot {q}},t)+f_{2}(q,{\dot {q}},t)u}$

若寫成上式時，若滿足以下條件，即為不完全驅動[1]：

${\displaystyle rank[{f_{2}(q,{\dot {q}},t)}]<dim[q]}$

若此條件成立，不論控制向量為何，總會有一些加速度的方向是無法產生的。

注意${\displaystyle f_{2}(q,{\dot {q}},t)}$沒有直接提到系統致動器的個數。因此，可能系統的致動器個數比自由度要大，但系統仍然是不完全驅動。另外，${\displaystyle f_{2}(q,{\dot {q}},t)}$的秩和狀態${\displaystyle q,{\dot {q}}}$有關。因此一個不完全驅動的系統，有可能除了一個特定狀態以外，系統都是完全驅動，只有一個狀態使系統不完全驅動。

經典的倒單擺都是顯然不完全驅動系統的例子，系統有二個自由度（一個是支撐水平面的運動，另一個是單擺的角度），但透過倒單擺的小車只能直接控制水平面的運動，無法直接控制單擺的角度。雖然其本質上是極端不穩定的系統，不過倒單擺仍然是可控制的。

汽車也是不完全驅動的系統，原因是因為車輪造成的非完整拘束條件。汽車無法往和車輪行進方向垂直方向上加速。船隻、飛機也有類似的限制。

• 被動力學

• M. Saliba, and C.W. de Silva, "An Innovative Robotic Gripper for Grasping and Handling Research," IEEE Journal of Robotics and Automation, pp. 975–979, 1991.
• N. Dechev, W.L. Cleghorn, and S. Naumann, “Multiple Finger, Passive Adaptive Grasp Prosthetic Hand,” Journal of Mechanism and Machine Theory, Vol. 36, No. 10, pp. 1157–1173, 2001.

• Canudas-de-Wit, C. On the concept of virtual constraints as a tool for walking robot control and balancing Annual Reviews in Control, 28 (2004), pp. 157–166. (Elsevier)
• Nonlinear Systems College of Mechanical and Nuclear Engineering, Kansas State University