中線定理

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入${\displaystyle I}$：

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=\left|{\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}}\right|^{2}+\left|{\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IC}}\right|^{2}}$

得出

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=AI^{2}+IB^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IB}}+AI^{2}+IC^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}}$

${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中點，因此${\displaystyle {\overrightarrow {IB}}}$和${\displaystyle {\overrightarrow {IC}}}$相反，可知式中兩個標積抵消。又因${\displaystyle IC^{2}=IB^{2}}$，得出

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+2IB^{2}\,}$

這可能是阿波羅尼烏斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下： 設${\displaystyle H}$是從${\displaystyle A}$到${\displaystyle BC}$的垂足，則${\displaystyle \triangle BHA}$和${\displaystyle \triangle AHC}$是直角三角形。用勾股定理可得

${\displaystyle AB^{2}=BH^{2}+AH^{2}\,}$

${\displaystyle AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}\,}$

${\displaystyle AI^{2}=IH^{2}+AH^{2}\,}$

所以

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BH^{2}+2AH^{2}+HC^{2}\,}$

把${\displaystyle BH}$和${\displaystyle HC}$用${\displaystyle BI}$和${\displaystyle IH}$表達出來（記得${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中點，因此${\displaystyle BI=IC}$）。注意到雖然現在的情形假設${\displaystyle H}$在線段${\displaystyle BI}$上，但其他情形也可以用這個方法。

${\displaystyle BH=BI-IH\,}$

${\displaystyle HC=IC+IH=BI+IH\,}$

代入前式：

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=(BI-IH)^{2}+2AH^{2}+(BI+IH)^{2}\,}$

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BI^{2}-2BI\cdot IH+IH^{2}+2AH^{2}+BI^{2}+2BI\cdot IH+IH^{2}\,}$

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2BI^{2}+2IH^{2}+2AH^{2}=2BI^{2}+2(IH^{2}+AH^{2})\,}$

現在${\displaystyle \triangle IHA}$是直角三角形，因此

${\displaystyle IH^{2}+AH^{2}=AI^{2}\,}$

代入前式得出

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2BI^{2}+2AI^{2}\,}$