勾股定理

勾股数的發現時間较早，例如埃及的纸草书里面就有${\displaystyle (3,4,5)}$这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是${\displaystyle (13500,12709,18541)}$。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载[6]。在中国，《周髀算经》中也记述了${\displaystyle (3,4,5)}$这一组勾股数[7]；金朝数学家李冶在《测圆海镜》中，通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系統的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：

普魯塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。

在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中：

因此此定理也被称之为陈子定理。

东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：

赵爽《勾股圆方图》

在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。

直至現時為止，仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来书面证明最早见于《几何原本》第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

中国三国时期趙爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。

趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画

中国魏晋时期数学家刘徽依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。[8]”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

刘徽 青朱出入图

相似三角形的證明

有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設${\displaystyle ABC}$為一直角三角形，直角於${\displaystyle \angle C}$ （看右圖）。從點${\displaystyle C}$畫上三角形的高，並將此高與${\displaystyle {\overline {AB}}}$的交叉點稱之為${\displaystyle H}$。此新${\displaystyle \bigtriangleup ACH}$和原本的${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有${\displaystyle A}$這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，${\displaystyle \bigtriangleup CBH}$和${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為

${\displaystyle {\overline {BC}}=a,{\overline {AC}}=b,{\mbox{ and }}{\overline {AB}}=c,\!}$

所以

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\overline {HB}}{a}}{\mbox{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {\overline {AH}}{b}}.\,}$

可以寫成

${\displaystyle a^{2}=c\times {\overline {HB}}{\mbox{ and }}b^{2}=c\times {\overline {AH}}.\,}$

綜合這兩個方程式，我們得到

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times {\overline {HB}}+c\times {\overline {AH}}=c\times ({\overline {HB}}+{\overline {AH}})=c^{2}.\,\!}$

換句話說:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!}$

《幾何原本》中的證明

在歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。設${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$為一直角三角形，其中A為直角。從${\displaystyle A}$點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
• 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
• 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
• 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

证明辅助图2

其證明如下：

1. 設${\displaystyle \triangle ABC}$為一直角三角形，其直角為${\displaystyle \angle CAB}$。
2. 其邊為${\displaystyle {\overline {BC}}}$、${\displaystyle {\overline {AB}}}$、和${\displaystyle {\overline {CA}}}$，依序繪成四方形${\displaystyle CBDE}$、${\displaystyle BAGF}$和${\displaystyle ACIH}$。
3. 畫出過點${\displaystyle A}$之${\displaystyle {\overline {BD}}}$、${\displaystyle {\overline {CE}}}$的平行線。此線將分別與${\displaystyle {\overline {BC}}}$和${\displaystyle {\overline {DE}}}$直角相交於${\displaystyle K}$、${\displaystyle L}$。
4. 分別連接${\displaystyle {\overline {CF}}}$、${\displaystyle {\overline {AD}}}$，形成兩個三角形${\displaystyle BCF}$、${\displaystyle BDA}$。
5. ${\displaystyle \angle CAB}$和${\displaystyle \angle BAG}$都是直角，因此${\displaystyle C}$、${\displaystyle A}$和${\displaystyle G}$都是共线的，同理可证${\displaystyle B}$、${\displaystyle A}$和${\displaystyle H}$共线。
6. ${\displaystyle \angle CBD}$和${\displaystyle \angle FBA}$皆為直角，所以${\displaystyle \angle ABD}$相等於${\displaystyle \angle FBC}$。
7. 因為${\displaystyle {\overline {AB}}}$和${\displaystyle {\overline {BD}}}$分別等於${\displaystyle {\overline {FB}}}$和${\displaystyle {\overline {BC}}}$，所以${\displaystyle \triangle ABD}$必須全等於${\displaystyle \triangle FBC}$。
8. 因為${\displaystyle A}$與${\displaystyle K}$和${\displaystyle L}$在同一直线上，所以四方形${\displaystyle BDLK}$必須二倍面積於${\displaystyle \triangle ABD}$。
9. 因為${\displaystyle C}$、${\displaystyle A}$和${\displaystyle G}$在同一直线上，所以正方形${\displaystyle BAGF}$必須二倍面積於${\displaystyle \triangle FBC}$。
10. 因此四邊形${\displaystyle BDLK}$必須和${\displaystyle BAGF}$有相同的面積=${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}$。
11. 同理可證，四邊形${\displaystyle CKLE}$必須有相同的面積${\displaystyle ACIH={\overline {AC}}^{2}}$。
12. 把這兩個結果相加，${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}}$
13. 由於${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {KL}}}$，${\displaystyle {\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}={\overline {BD}}\left({\overline {BK}}+{\overline {KC}}\right)={\overline {BD}}\times {\overline {BC}}}$
14. 由於${\displaystyle CBDE}$是個正方形，因此${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}^{2}}$。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的[9]

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

以面積減算法證明

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為${\displaystyle (a+b)^{2}}$。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$，右方餘下面積為${\displaystyle c^{2}}$，兩者相等。證畢。

以重新排列法證明

以動畫方式來論證畢氏定理

構造${\displaystyle \triangle A'B'C'}$，使${\displaystyle a'=a,b'=b,\angle C'=90^{\operatorname {\mathrm {o} } }}$。

根據勾股定理，${\displaystyle c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c}$，從而${\displaystyle \triangle A'B'C'\cong \triangle ABC(SSS)}$。

因此，${\displaystyle \angle C=90^{\operatorname {\mathrm {o} } }}$。

根據餘弦定理，${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$。由於${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$，故${\displaystyle \cos C=0\,}$，從而${\displaystyle \angle C=90^{\operatorname {\mathrm {o} } }}$。

在${\displaystyle {\overline {AB}}}$边上截取点${\displaystyle D}$使${\displaystyle \angle DCB=\angle A}$。

在${\displaystyle \triangle CDB\,}$与${\displaystyle \triangle ACB\,}$中，

${\displaystyle \angle B=\angle B,\angle DCB=\angle A\Rightarrow \triangle CDB\sim \triangle ACB}$

。

從而，${\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\overline {BA}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}\Rightarrow {\overline {BD}}={\frac {a^{2}}{c}}}$，以及${\displaystyle {\frac {\overline {CD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}\Rightarrow {\overline {CD}}={\frac {\overline {ab}}{c}}}$。

另一方面，${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}-{\overline {BD}}=c-{\frac {a^{2}}{c}}={\frac {b^{2}}{c}}}$，故由${\displaystyle {\frac {\overline {DC}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {CD}}}={\frac {a}{b}}}$知，${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle CBD}$。

因而，${\displaystyle \angle BDC=\angle CDA=90^{\operatorname {\mathrm {o} } }}$，所以${\displaystyle \angle ACB=\angle CDB=90^{\operatorname {\mathrm {o} } }}$。

勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的[10]。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设。[11][12]