代数图论

代数图论(algebraic graph theory)是用代数方法处理图论问题的数学分支。这不同于几何组合或算法的方法。代数图论有三个主要分支,分别使用线性代数,使用群论,以及研究图不变量。

佩特森图,一种高度对称的图。它的直径为2。其自同构群有120个元素,事实上就是对称群

代数图论的分支

使用线性代数

代数图论的第一个分支用线性代数来研究图,特别是研究图的邻接矩阵拉普拉斯矩阵(这部分代数图论也被称为谱图理论)。以佩特森图为例,邻接矩阵的谱为(-2, -2, -2, -2, 1, 1, 1, 1, 1, 3)。通过一些定理把谱的性质与图的其他性质联系起来。举一个简单的例子,对于直径为D的连通图,它的谱至少有D+1个不同的值[1]。图的谱可用于分析网络的同步

使用群论

交错群凯莱图,在三维空间中构成了截角四面体

代数图论的第二个分支用群论来研究图,尤其是自同构群以及几何群论。重点是根据对称性对图进行分类,以及不同类别之间的包含关系。某些特殊类别的图足够少,可以把它们列举出来。根据Frucht定理,所以的群都可以表示成连通图的自同构群[2]。另外,给定一个群,可以作出相应的凯莱图,凯莱图有一些性质与群的结构相关[1]

代数图论的第二个分支与第一个分支有联系,因为图的对称性在图的谱中也有反映。尤其是,对于高度对称的图,例如佩特森图,不同的特征值的数目很少[1](佩特森图有3个不同的特征值,在直径相等的图中是最少的)。凯莱图的谱与群的结构直接相关,尤其是与不可约特征标相关[1][3]

研究图不变量

用三种颜色对佩特森图的顶点进行着色。根据色多项式,有120种3着色。

最后,代数图论的第三个分支研究图不变量的代数性质,尤其是色多项式、Tutte多项式与扭结不变量。例如,图的色多项式计算了顶点着色的个数。佩特森图的色多项式为[1]。这意味着佩特森图不能用1种或2种颜色着色,但可以用3种颜色着色,且着色方式有120种。代数图论的这一领域的许多工作都是为了证明四色定理而启发。可是仍然有许多未解决的问题,例如如何判定两个图的色多项式相同,以及如何判定一个多项式是不是某个图的色多项式。

另见

参考资料

  1. Biggs, Norman (1993), Algebraic Graph Theory (2nd ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-45897-8
  2. R. Frucht. Graphs of Degree 3 with given abstract group, Can. J. Math. 3 1949.
  3. Babai, L (1996), "Automorphism groups, isomorphism, reconstruction", in Graham, R; Grötschel, M; Lovász, L, Handbook of Combinatorics, Elsevier
  • Godsil, Chris; Royle, Gordon (2001), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, New York: Springer-Verlag.
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