截角四面體

在直角坐標系中，將幾何中心位於原點邊長為${\displaystyle {\sqrt {8}}}$的四面體截角產生了12個頂點，以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每組坐標的±數目都是奇數個）為頂點，構成了一個截角四面體。12個頂點位置如下：

• (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
• (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
• (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
• (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

正交投影顯示截角四面體可置於一個(±3,±3,±3)的邊框內。	截角四面體的六邊形面可分割為6共面的正三角形。其產生了四個新頂點 : (-1,-1,-1), (-1,+1,+1), (+1,-1,+1), (+1,+1,-1).	頂點(±1,±1,±3)的全排列產生了兩個互補的截角四面體，可將之結合成一個複合多面體，即截角星形八面體。

邊長為${\displaystyle a}$的截角四面體，其表面積為${\displaystyle 7{\sqrt {3}}a^{2}}$，體積為${\displaystyle {\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}}$。[3]

${\displaystyle A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.}$

三角形與六邊形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {-1}{3}}}$，約為109.47122063449069136924599933996°

六邊形與六邊形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}}$，約為70.528779365509308630754000660038°

兩個六邊形的共線與三角形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}}$，約為125.26438968275465431537700033002°

三角化截角四面體

三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果，即將截角四面體的三角形面加入三角錐。

另外一種則是在六邊形面加入六角錐。