伯努利多項式

當 n ≥ 0 時，

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}x^{n-k},}$

其中b_k 則為 伯努利數

伯努利多項式的母函數是

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

歐拉多項式母函數是

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

伯努利多項式亦可表示為微分的形式

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}$

其中 D = d/dx 是一個關於x的微分式，上述分式可以展開得到形式幂级数

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.}$

伯努利多項式的多項式f可以通此積分方程求得

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$

通過积分变换得到

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$

多項式f 等價于

${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}}$

這可以用來求解伯努利多項式的反函數。