反函數

一般而言，當${\displaystyle f(x)}$為一任意函數，且${\displaystyle g}$為其反函數，則${\displaystyle g(f(x))=x}$，${\displaystyle f(g(y))=y}$。換句話說，一反函數會取消原函數的作用。在上述例子，可以證明${\displaystyle f^{-1}}$確為反函數，以將${\displaystyle {\frac {x-2}{3}}}$代入${\displaystyle f}$的方式，如此

${\displaystyle 3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x}$。

類似地，也可以將${\displaystyle f}$代入${\displaystyle f^{-1}}$來證明。

確實，${\displaystyle f}$的反函數${\displaystyle g}$的一等價定義，就是${\displaystyle g\circ f}$為於${\displaystyle f}$定義域上的恆等函數，且${\displaystyle f\circ g}$為${\displaystyle f}$值域上的恆等函數。（其中的"o"表示函數複合）

如果一函數${\displaystyle f}$有反函數，${\displaystyle f}$必須是一雙射函數，即：

• 單射：陪域上的每一元素都只被${\displaystyle f}$映射至多一次。
• 滿射：陪域上的每一元素都必須被${\displaystyle f}$映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義${\displaystyle f}$的反函數。

設${\displaystyle f}$為一实函数。若${\displaystyle f}$有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在${\displaystyle f}$圖上的水平線${\displaystyle y=k}$必對所有實數${\displaystyle k}$，至多通過一次。換言之，當${\displaystyle k}$位於${\displaystyle f}$的值域時，${\displaystyle y=k}$恰好通過f圖一次。

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数${\displaystyle y=x}$的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理