傅里叶级数

在数学中，傅里叶级数（Fourier series，/ˈfʊrieɪ, -iər/）是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组简单振荡函数（正弦与余弦函数，或等价的复指数函数）的加权和表示的方法。离散时间傅里叶变换是一个周期函数，通常用定义傅里叶级数的项进行定义。另一个应用的例子是Z变换，将傅里叶级数简化为特殊情形 |z|=1。傅里叶级数也是采样定理原始证明的核心。傅里叶级数的研究是傅里叶分析的一个分支。

歷史

傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一個函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱羅早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助[1]。

傅里叶介入三角级数用來解热传导方程，其最初论文雖經拉克爾華、加斯帕尔·蒙日同意[2]，但在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德评審后被拒绝出版，他的现在被称为傅里葉逆轉定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》（热的传播，，）中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

定義

現在，讓我們考慮一個函數 ${\textstyle s(x)}$ ，其中 ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ ，且 ${\textstyle s(x)}$ 在長度為 $P$ 的區間上可積。一些常見的可積區間為:

$x\in [0,1]$ ， $P=1$

$x\in [-\pi ,\pi ]$ , $P=2\pi$

我們將用 $sin(x)$ 與 $cos(x)$ 的無窮級數來表示 ${\textstyle s(x)}$ 。事實上，整個分析的過程就是一個權重的表現，由 $N$ 階的諧波 $sin({\frac {2\pi nx}{P}})$ 還有 $cos({\frac {2\pi nx}{P}})$ 搭配上彼此在這個函數 ${\textstyle s(x)}$ 中的權重來實現用三角級數來表示整個 ${\textstyle s(x)}$ ，其中 $N$ 階諧波在函數中的權重可以藉由在區間上的積分來獲取，其中上述的權重就是所謂的傅立葉係數:

傅立葉係數

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

(Eq.1)

我們可以從部分和开始

傅立葉級數, sine-cosine 形式

${\begin{aligned}s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right).\end{aligned}}$

(Eq.2)

普遍來說N是理論上趨近於無限大的，但是就算趨近於無限大，對所有的x(例如在某一點上不連續)，傅立葉級數也不一定收斂到 ${\textstyle s(x)}$ 。

我們還可以利用三角恆等式，去把後面的正弦函數跟餘弦函數合併起來

$A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),$

然後定義 $A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ 還有 $\varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})$

傅立葉級數,amplitude-phase form

$s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right).$

(Eq.3)

然後我們習慣將普遍化 ${\textstyle s(x)}$ 到整個複數上，藉由歐拉公式去分開餘弦函數變成指數的形式表示。

${\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}$

因此，根據定義，我們可以得到:

${\hat {s}}_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\{\hat {s}}_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,$

而最後的結論是

傅立葉級數指數形式

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

(Eq.4)

複數函數

如果 ${\textstyle s(x)}$ 是一個複數函數，其中實部跟虛部都是實值函數，其中 ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ ，二者都可以被表示為傅立葉級數，那實部跟虛部的係數還有部分和可以被表示為:

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$ 還有 $c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

然後定義 $c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$

這與 Eq.4相同，但是如果說 $c_{n}$ 還有 $c_{-n}$ 不再繼續複數共軛. 關於 $c_{n}$ 的公式一樣沒有變化:

${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}$

基本性質

傅立葉級數的唯一性

如果有一個定義在 $[-\pi ,\pi ]$ 的函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ ,其中函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅立葉係數 ${\hat {f}}(n)$ 還有 ${\hat {g}}(n)$ 相同，且傅立葉級數都收斂到函數本身，那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性，也就是 $f(x)=g(x)$ 。換句話說，如果函數 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可積，傅立葉係數 ${\hat {f}}(n)$ 為0，對所有的 $n\in \mathbb {N}$ ，那麼函數 $f(x)=0$

捲積
主条目：摺積

捲積的觀念在傅立葉分析中扮演了重要的角色，所以說了解捲積是必要的。

假設 $f(x)$ 還有 $g(x)$ 在 ${\textstyle \mathbb {R} }$ 上可積的函數，定義 $f(x)$ 還有 $g(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的捲積 $(f*g)(x)$ 為:

$(f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)g(x-y)dy$ 我們也可以藉由變數變換去得到 $(f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-y)g(y)dy$

至於關於摺積的性質，可以參閱條目摺積

然後當我們在考慮一個函數 $f(x)$ 的傅立葉級數的部分和，我們可以將其表示為 $f(x)$ 跟 $D_{N}(x)$ 的摺積，其中 $D_{N}(x)$ 為狄利克雷核。

${\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}dy\cdot e^{inx}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)(\sum _{n=-N}^{N}e^{-in(y-x)})dy\\&=(f*D_{N})(x)\end{aligned}}$

這個範例可以讓我們看到，研究函數的傅立葉級數的部分和就是由研究函數跟狄利克雷核的摺積。

微分性質

我們說 $f(x)$ 屬於在 $C^{k}(\mathbb {T} )$ $\Rightarrow$ 如果 $f(x)$ 是一個在實數上以 $2\pi$ 為週期的函數，且 $k$ 次可微而且 $k$ 階連續。

如果 $f(x)$ 屬於在 $C^{1}(\mathbb {T} )$ ，那麼 $f'(x)$ 傅立葉係數 ${\hat {f'}}(n)$ 可以被用 $f(x)$ 傅立葉係數 ${\hat {f}}(n)$ 的表示，藉由公式 ${\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)$

如果 $f(x)$ 屬於在 $C^{k}(\mathbb {T} )$ ， ${\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)$ 。特別的，當固定 $k\geq 1$ ，我們有 ${\hat {f^{(k)}}}(n)$ 趨近於0當 $n\rightarrow \infty$ ，且有 ${\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})$ 。

黎曼-勒貝格引理

如果函數 $f(x)$ 可積，那麼便有 $\lim _{|n|\to \infty }{\hat {f}}(n)=0$

Parseval's定理

如果函數 $f(x)$ 屬於在 $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 之中，那麼便有 $\sum _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=||f||$

收斂

概要

$s_{N}(x)$ 在 $[x_{0},\ x_{0}+P]$ 近似了 $s(x)$ ，该近似程度会随着 N → ∞ 逐渐改善。这个无穷和 $s_{\infty }(x)$ 叫做 $s$ 的傅里叶级数表示。在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于 s(x)，只要在 s(x) 的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。[3] 如果一个函数在区间 [x₀, x₀+P]上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎所有点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见傅里叶级数的收敛性之一。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛定义傅里叶系数.

一个相同幅度和频率的锯齿波的近似的可视化
另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。（可以在这里页面存档备份，存于看到一个交互式的动画）

傅立葉級數收斂

假設一個函數在 $f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 上是平方可積，則會有:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0$ 當 $N\rightarrow \infty$

證明:

第一步:

考慮一系列正交基底， $\{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$ ，其中 $e_{n}(x)=e^{-inx}$ ，且有

$(e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}$

然後有 $(f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)$

特別的有， $f(x)$ 的傅立葉級數的部分和 $S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$

然後根據 $f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$ 以及畢氏定理，可以有:

$||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$ 替換一下後有 $||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$

如果右邊第一項收斂到0，再根據正交的性質，可以看出上述式子中的右手邊第二項:

$||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}$ ，這就證明了Parseval's定理。

接下來第二步:

回到證明右邊第一項，因為函數 $f(x)$ 可積，找到一個連續函數 $g(x)$ ，然後根據Best approximation lemma，可以找到一個三角多項式p(x)，使得

$|f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|$

故當 $N\rightarrow \infty$ ，函數 $f(x)$ 跟 $S_{N}(f)(x)$ 的差為0

範例

例1：一个简单的傅里叶级数

锯齿波周期函数的图

前五个部分傅里叶级数的动态图

我们现在用上面的公式给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考虑一个锯齿波

s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,

s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .

在这种情况下，傅里叶级数为

{\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}

可以证明，当 s 可微时，傅立叶级数在每个点 x 都收敛于 s(x)，于是：

${\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}$

(Eq.1)

当 x = π 时，傅里叶级数收敛于 0，为在 x = π 处 s 的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。

这个例子为我们引出了巴塞尔问题的一种解法。

例2：傅里叶诱导

金属板内的热分布，使用傅里叶方法求解

例1中我们的函数的傅里叶级数展开式看起来不比 s(x) = x/π 简单，因此人们需要傅里叶级数的原因也就不会立即显现出来。但还有很多应用，我们举用傅里叶诱导解热方程式的例子。考虑边长为 π 米的方形金属版，坐标为 (x, y) ∈ [0, π] × [0, π]。如果板内没有热源，并且四个边中三个都保持在 0 摄氏度，而第四条边 y = π，对于 x 属于 (0, π)，保持在温度梯度 T(x, π) = x 摄氏度，于是可以证明稳态热分布（或者说在很长一段时间过去后的热分布）为

T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.

这里，sinh 为双曲正弦函数。热方程的这个解是通过将 Eq.1 的每一项乘以 sinh(ny)/sinh(nπ) 得到的。我们示例的函数 s(x) 的傅里叶级数似乎很复杂，热分布 T(x, y) 是非平凡的。函数 T 不能写成解析解。用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。

其他例子

我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式，或是構造處處連續處處不可微的函數。

延伸

希尔伯特空间的解读

正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分，當m與n不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消)，僅當m和n相等並且函數相同時為π。

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函數的集合{e_n = e^inx; n ∈ Z}是[−π, π]平方可積函數L²([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素f和g的如下內積:

\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.

三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,

\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1

(這裡的δ_mn是克羅內克函數)，而

\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,